Nombres complexes



  • Bonjour,
    J'ai un problème avec un exercice sur les nombres complexes.
    Voici l'énoncé:

    Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O; vecteur u; vecteur v).
    Soit f la fonction définie sur mathbbCmathbb{C} privé de i par f(z) = (z- 1 + 2i) / (z-1) = z'.
    1.a. Calculer f(1)
    b.Résoudre f(z) = 2-3i.
    2.On pose z = x +iy et z' = x'+iy' où x, y, x', y' sont des réels.
    a.Démontrer que x' = (x²+y² -x+y-2) / (x² + (y-1)²) et y' = (3x+y-1)/(x²+(y-1)²)
    b.Déterminer l'ensemble E des points M d'affixe z du plan tel que z' soit un réel.
    c.Déterminer l'ensemble F des points M d'affixe z du plan tel que z' soit un imaginaire pur.
    d.Représenter E et F.

    Voilà,
    Alors pour calculer f(1), j'ai trouvé f(1) = (2i-2)/2
    Parce que la prof veut pas de i au dénominateur donc voilà.

    Par contre pour résoudre f(z) = 2-3i j'ai essayé des trucs mais ca n'aboutit pas comme:
    f(z) = 2-3i = (z-1+2i)/(z-i)
    Donc z - 1 +2i = (z-i)(2-3i)
    ⇔ z - 1 +2i = 2z -2i -3iz +3i²
    ⇔z-1+2i = 2z -2i -3iz -3
    ⇔z = 2z -2i -3iz -3+1-2i
    ⇔-z = -4i -3iz -2
    ⇔z = 4i -3iz - 2
    Est-ce que c'est ça ? Ca me parait étrange comme résultat.

    Pour démontrer que x' = (x²+y² -x+y-2) / (x² + (y-1)²) et que y' = (3x+y-1)/(x²+(y-1)²).
    J'ai beau remplacé dans f(z), z par x+iy, ca me donne des trucs vrt bizarres.
    Je ne sais pas comment faire.

    Enfin pour déterminer les ensembles, comme z' = x'+iy' alors
    z' = (x²+y² -x+y-2) / (x² + (y-1)²) + i (3x+y-1)/(x²+(y-1)²)
    Donc si z' ∈ mathbbRmathbb{R} ⇔ Im (z) = 0 ⇔ (3x+y-1)/(x²+(y-1)²) = 0
    Mais je ne reconnais pas l'ensemble, de même que pour :
    Si z' ∈ mathbbRmathbb{R} ⇔ Re(z) = 0 ⇔ (x²+y² -x+y-2) / (x² + (y-1)²) = 0

    Voilà.
    Pourriez vous m'aider ?
    Merci


  • Modérateurs

    Salut.

    f(z)=z1+2izi=zf(z) = \frac{z-1+2i}{z-i} = z'

    1.a) Oui j'ai également f(1) = -1+i. 🙂

    1.b) Ta dernière ligne ets fausse. Ce passage est faux :

    z = -4i -3iz -2 ⇔ z = 4i -3iz - 2

    Erreur de signe mise à part, z n'est pas isolé. Il faudrait déjà regrouper 3iz et z, parce que l'équation n'est pas encore résolue.

    2.a) Pourtant c'est bien ça, dans l'égalité f(z) = z' il faut remplacer z et z' par leurs nouvelles expressions et puis ensuite isoler les parties réelles et imaginaires.

    2.b et c) Peut-être qu'en simplifiant les expressions tu pourrais te ramener à des équations connues (équattions de cercles ?) : par exemple vu qu'il y a un 0 dans le membre de droite, tu pourrais faire disparaitre le dénominateur gênant. 😉

    @+



  • Bonjour,

    j ai regardé vite fais le debut de cet exercice et je comprends pas pourquoi dans le 2)a pour x' par exemple on a un denominateur de la forme :

    x2+(y1)2x^2+(y-1)^2 et pas (x1)2+y2(x-1)^2+y^2

    Car :
    z=z1+2iz1\z=x+iy\x+iy=...x+iy1=...(x1)2+(y)2z'=\frac{z-1+2i}{z-1}\z=x+iy\x'+iy'=\frac{...}{x + iy - 1}=\frac{...}{(x-1)^2+(y)^2}

    Voila si vous pouvez m aider merci d avance...

    oupss désoler j avais pas vu la reponse mais en fait
    z=z1+2iziz'=\frac{z-1+2i}{z-i}

    j ai rien dis...



  • Bonjour,
    Merci pour votre aide!
    J'ai réussi à trouver f(z) = 2-3i.
    Les ensembles sont respectivement une droite d'équation y= -3x+1 et un cercle de rayon √2 et de centre Ω ( 1/2 ; -1/2 )
    Car z' = (x²+y²-x+y-2/x²+((y-1)²) + i (3x+y-1/x² + (y-1)²)
    Sinon je n'arrive pas à démontrer x' et y'! Pouvez vous m'aider ?



  • je suis nouvelle ici e je ne sait pas trop comment fonctionne ce site j'ai besoin d'aide pour un devoir c'est assez urgent quelqu'un pourrait m'aider???



  • Bonjour et bienvenue sara94,

    Pour savoir comment fonctionne le forum, il y a un message écrit en rouge dans la page d'accueil : Poster son 1er message ici


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