devoir de maths sur les suites sous forme de somme et raisonnement par récurrence



  • bonjour

    J'ai un dm sur les suites,sur lequel j'ai longtemps travaillé au brouillon mais malheureusement ce que je trouve ne correspond pas à la logique du cours.
    Chaque question dépend de la précédente et étant donné que je suis boquée dés la première...
    Voici l'énoncé et quelques unes de mes réponses:

    Ex1:
    on pose pour n ≥1,UnU_n= 1/12 + 1/23+...+1/n(n+1)

    1.Ecrire l'expression de Un en utilisant le symbole ∑.Calculer U1,U2,U3 et montrer que la suite et croissante.

    n
    J'ai trouvé Un=∑1/k(k+1) mais je n'en suis pas sûre et pour le calcul des trois premiers termes ça donne

    U1=1/2
    U2=1/6 ou 1/4+1/6=5/12 ?
    U3=1/6+1/9+1/12?

    Montrer que la suite est croissante:

    Il faut démontrer que Un+1-Un > 0 .
    (Mais quelle est la vraie et la bonne expression de Un ?)

    2.Montrer par récurrence que pr tout n≥1,Un=n/n+1

    Je suppose que pour cela il faut faire l'initialisation avec Pn=n/n+1 et Po,et l'herédité,et la conclusion mais j'ai également besoin des réponses précédentes....
    3.Pour toutk≥1,montrer l'égalité 1/k(k+1)=1/k-1/k+1 puis retrouver l'expression de Un en fonction de n.
    (c'est cette expression même qui me conviendrait pr les questions précédentes. 😕 )

    Merci de me répondre dés que vous pouvez.
    Merci d'avance.
    k=1

    modif : orthographe titre



  • Bonjour,

    As-tu essayé de taper 1/1*2 sur une calculatrice ? Trouves-tu 1/2 ou 2 ?

    Pour qu'on puisse bien comprendre la différence entre 1/n(n+1) et 1/(n(n+1)) il faut mettre les () qui s'imposent ...

    En prenant la 2ème solution je dirais que

    un,=,k=1n,1,k(k+1),u_n, =,\sum_{k=1}^{n} , { \frac{1}{,k(k+1),}}

    Donc u1,=,k=11,1,k(k+1),u_1, =,\sum_{k=1}^{1} , { \frac{1}{,k(k+1),}} le dernier terme de cette somme est pour k = n = 1

    soit u1,=,1,1(1+1),u_1, =, \frac{1}{,1(1+1),}

    u2,=,k=12,1,k(k+1),u_2, =,\sum_{k=1}^{2} , { \frac{1}{,k(k+1),}} le dernier terme de cette somme est pour k = n = 2

    soit u2,=,1,1(1+1),,+,1,2(2+1),u_2, =, \frac{1}{,1(1+1),},+, \frac{1}{,2(2+1),}

    A toi d'écrire u3,=,u_3, =,



  • Pour montrer que (<em>Un(<em>U_n) est une suite croissante, il faut étudier le signe de <em>Un+1<em>U_{n+1} - <em>Un<em>U_n



  • Exercice 2 - Récurrence.

    ∀ n ≥ 1 on a un=nn+1u_{n}=\frac{n}{n+1}

    *Au rang n = 1 : $u_{1}=\sum_{k=1}^{1} {\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{2}$

    et u1=11+1u_{1}=\frac{1}{1+1}...Ok rang 1

    *Au rang p on a : $u_{p}=\sum_{k=1}^{p} {\frac{1}{k(k+1)}$ (1)

    et on suppose : up=pp+1u_{p}=\frac{p}{p+1} (2)

    Vérifions si l hypothese est vrai au rang p+1 ⇒ up+1=p+1p+2u_{p+1}=\frac{p+1}{p+2}

    Avec (1) ca nous donne en developant :

    up=11(1+1)+12(2+1)+...+1p(p+1)u_{p}=\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{p(p+1)}

    up+1=11(1+1)+12(2+1)+...+1p(p+1)+1(p+1)(p+2)u_{p+1}=\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{p(p+1)}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}

    up+1=up+1(p+1)(p+2)u_{p+1}=u_{p}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}

    Avec 2 ca nous donne :

    $u_{p+1}=\frac{p}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}\=\frac{p(p+2)+1}{(p+1)(p+2)\=\frac{(p+1)^2}{(p+1)(p+2)}\=\frac{p+1}{p+2}$

    Si la relation est vrai au rang p+1 elle l est au rang n

    On a bien : ∀ n ≥ 1 on a un=nn+1u_{n}=\frac{n}{n+1}

    Pouvez vous me dire si la récurence est bonne svp.
    Merci


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