devoir de maths sur les suites sous forme de somme et raisonnement par récurrence

[sarahdreams]

bonjour

J'ai un dm sur les suites,sur lequel j'ai longtemps travaillé au brouillon mais malheureusement ce que je trouve ne correspond pas à la logique du cours.
Chaque question dépend de la précédente et étant donné que je suis boquée dés la première...
Voici l'énoncé et quelques unes de mes réponses:

Ex1:
on pose pour n ≥1,$U_n$= 1/12 + 1/23+...+1/n(n+1)

1.Ecrire l'expression de Un en utilisant le symbole ∑.Calculer U1,U2,U3 et montrer que la suite et croissante.

n
J'ai trouvé Un=∑1/k(k+1) mais je n'en suis pas sûre et pour le calcul des trois premiers termes ça donne

U1=1/2
U2=1/6 ou 1/4+1/6=5/12 ?
U3=1/6+1/9+1/12?

Montrer que la suite est croissante:

Il faut démontrer que Un+1-Un > 0 .
(Mais quelle est la vraie et la bonne expression de Un ?)

2.Montrer par récurrence que pr tout n≥1,Un=n/n+1

Je suppose que pour cela il faut faire l'initialisation avec Pn=n/n+1 et Po,et l'herédité,et la conclusion mais j'ai également besoin des réponses précédentes....
3.Pour toutk≥1,montrer l'égalité 1/k(k+1)=1/k-1/k+1 puis retrouver l'expression de Un en fonction de n.
(c'est cette expression même qui me conviendrait pr les questions précédentes. )

Merci de me répondre dés que vous pouvez.
Merci d'avance.
k=1

modif : orthographe titre

[Zorro]

Bonjour,

As-tu essayé de taper 1/1*2 sur une calculatrice ? Trouves-tu 1/2 ou 2 ?

Pour qu'on puisse bien comprendre la différence entre 1/n(n+1) et 1/(n(n+1)) il faut mettre les () qui s'imposent ...

En prenant la 2ème solution je dirais que

$u_n,=,{\sum }_{k=1}^n,\frac{1}{,k(k+1),}$

Donc $u_1,=,{\sum }_{k=1}^1,\frac{1}{,k(k+1),}$ le dernier terme de cette somme est pour k = n = 1

soit $u_1,=,\frac{1}{,1(1+1),}$

$u_2,=,{\sum }_{k=1}^2,\frac{1}{,k(k+1),}$ le dernier terme de cette somme est pour k = n = 2

soit $u_2,=,\frac{1}{,1(1+1),},+,\frac{1}{,2(2+1),}$

A toi d'écrire $u_3,=,$

[Zorro]

Pour montrer que $(<em>U_n$) est une suite croissante, il faut étudier le signe de $<em>U_{n+1}$ - $<em>U_n$

[begbi]

Exercice 2 - Récurrence.

∀ n ≥ 1 on a $u_n=\frac{n}{n+1}$

*Au rang n = 1 : $u_{1}=\sum_{k=1}^{1} {\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{2}$

et $u_1=\frac{1}{1+1}$...Ok rang 1

*Au rang p on a : $u_{p}=\sum_{k=1}^{p} {\frac{1}{k(k+1)}$ (1)

et on suppose : $u_p=\frac{p}{p+1}$ (2)

Vérifions si l hypothese est vrai au rang p+1 ⇒ $u_{p+1}=\frac{p+1}{p+2}$

Avec (1) ca nous donne en developant :

$u_p=\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{p(p+1)}$

$u_{p+1}=\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{p(p+1)}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}$

$u_{p+1}=u_p+\frac{1}{(p+1)(p+2)}$

Avec 2 ca nous donne :

$u_{p+1}=\frac{p}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}\=\frac{p(p+2)+1}{(p+1)(p+2)\=\frac{(p+1)^2}{(p+1)(p+2)}\=\frac{p+1}{p+2}$

Si la relation est vrai au rang p+1 elle l est au rang n

On a bien : ∀ n ≥ 1 on a $u_n=\frac{n}{n+1}$

Pouvez vous me dire si la récurence est bonne svp.
Merci