DM (réccurence & factorielle)

Bonjour !
J'ai un DM à faire pour le 25/09 mais j'ai un p'tit soucis... je ne vois pas comment commencer cet exo :

**n et k sont deux entiers naturels.
Démontrer que pour tout entier n avec n≥1, on a : ∑ k×k! = (n+1)!-1

ps : au dessus de ∑, on a k=n et en dessous : k=1**

Si quelqu'un peut me donner quelques indications, ce serait gentil
merci d'avance
bisous

Bonjour,

Une indication : il me semble qu'ici la démonstration par récurrence s'impose.

Il faut donc montrer que la relation à démontrer est vraie pour n = 1.

Puis supposer qu'ellle est vraie pour un n quelconque et en déduire qu'elle est vraie pour n+1

Merci bien.

Dites, pour montrer que n+1 est vraie aussi, je remplace k par n+1 et n par n+1 et je trouve :
∑ (n+1)(n+1)! = (n+2)!-1
donc :
∑ (n+1)(n+1)n! = (n+2)n! -1

Suis-je bien partie? car après je bloque.

Euh non ^^ Il faut bien remplacer n par n+1 mais il faut laisser le k comme il est...

EDIT : Je hais le Latex.

Au rang n
$∑k=1k=nk×k!=(n+1)!−1\sum_{k=1}^{k=n} {k \times k!} = (n+1)! - 1$

Au rang n+1 :
$∑k=1k=n+1k×k!=(n+2)!−1\sum_{k=1}^{k=n+1} {k \times k!} = (n+2)! - 1$

Voilà !

Ah d'accord ! çà devrait aller mieux maintenant ^^
Merci beaucoup

La prof a donné cet exercice :

n et p sont deux entiers naturels tels que p≤n
Démontrer que 1/p+1 (p parmi n) = 1/n+1 (p+1 parmi n+1)

On n'a jamais fait d'exercices de ce type, par quoi commence t-on? comment peut-on obtenir cette égalité ? je ne vois pas du tout :s

J'vous remercie d'avance.

pour le premier, il suffit de poser ∑(n+1)=∑(n)+(n+1)!(n+1), donc (n+1)!-1 + (n+1)!(n+1), et on remarque que ((n+2)!-1)-((n+1)!-1+(n+1)!(n+1)) = 0. CQFD

pour le second exercice... je ne comprends pas l'énoncé. si p ≤ n ∀n∈N, alors 1/p+1 ≥ 1/n+1, je ne comprends pas le sens de (p parmi n) et (p+1 parmi n+1).