DM (réccurence & factorielle)



  • Bonjour !
    J'ai un DM à faire pour le 25/09 mais j'ai un p'tit soucis... je ne vois pas comment commencer cet exo :

    **n et k sont deux entiers naturels.
    Démontrer que pour tout entier n avec n≥1, on a : ∑ k×k! = (n+1)!-1

    ps : au dessus de ∑, on a k=n et en dessous : k=1**

    Si quelqu'un peut me donner quelques indications, ce serait gentil 😄
    merci d'avance
    bisous



  • Bonjour,

    Une indication : il me semble qu'ici la démonstration par récurrence s'impose.

    Il faut donc montrer que la relation à démontrer est vraie pour n = 1.

    Puis supposer qu'ellle est vraie pour un n quelconque et en déduire qu'elle est vraie pour n+1



  • Merci bien.

    Dites, pour montrer que n+1 est vraie aussi, je remplace k par n+1 et n par n+1 et je trouve :
    ∑ (n+1)(n+1)! = (n+2)!-1
    donc :
    ∑ (n+1)(n+1)n! = (n+2)n! -1

    Suis-je bien partie? car après je bloque. 😕



  • Euh non ^^ Il faut bien remplacer n par n+1 mais il faut laisser le k comme il est...

    EDIT : Je hais le Latex.

    Au rang n
    k=1k=nk×k!=(n+1)!1\sum_{k=1}^{k=n} {k \times k!} = (n+1)! - 1

    Au rang n+1 :
    k=1k=n+1k×k!=(n+2)!1\sum_{k=1}^{k=n+1} {k \times k!} = (n+2)! - 1

    Voilà !



  • Ah d'accord ! çà devrait aller mieux maintenant ^^
    Merci beaucoup



  • La prof a donné cet exercice :

    n et p sont deux entiers naturels tels que p≤n
    Démontrer que 1/p+1 (p parmi n) = 1/n+1 (p+1 parmi n+1)

    On n'a jamais fait d'exercices de ce type, par quoi commence t-on? comment peut-on obtenir cette égalité ? 😕 je ne vois pas du tout :s

    J'vous remercie d'avance.



  • pour le premier, il suffit de poser ∑(n+1)=∑(n)+(n+1)!(n+1), donc (n+1)!-1 + (n+1)!(n+1), et on remarque que ((n+2)!-1)-((n+1)!-1+(n+1)!(n+1)) = 0. CQFD



  • pour le second exercice... je ne comprends pas l'énoncé. si p ≤ n ∀n∈N, alors 1/p+1 ≥ 1/n+1, je ne comprends pas le sens de (p parmi n) et (p+1 parmi n+1).


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