Etudier le sens de variation d'une fonction rationnelle

Bonjour, est ce que quelqun pourait m'aider pour l' exercice suiavant svp.
Soit (Un) la suite definie par la donnee de u0 et la relation de recurrence Un+1= f(Un) ou f est la fonction definie sur R par f(x)= $s q r t [3]$ 3x+1) -1
1)Resoudre l'equation f(x)=x. En deduire les limtes possibles de la suite (Un).
ma reponse:
3x+1)^(1/3) - 1 = x
(3x+1)^(1/3)=x+1
3x+1 = (x+1)^3=x^3+3x²+3x+1
x^3+3x²=0
x²(x+3)=0
x=0 x=-3

2)On considere les intervalles I=]- infini;-3[, J=[-3;0[ et K=[0;+infini[
a) Etudier le sens de variation de f.
ma reponse:
f ' (x) = 1/((3x+1)^(2/3)) , donc la fonction f est strictement croisannte .

b)En deduire que si Uo appartient a I alors Un appartient a I pour tout n appartenent a N. Demontrer un resultat analogue pour les intervalles J et K.
C'est a cette question que je bloque

Veuillez m' aider svp
merci beaucoup
$s q r t [3]$

Salut xavier005.

A la 1re question, n'oublie pas les limites éventuelles de ta suite récurrente (ce sont les solutions de f(x)=x).

Tu as montré que f est croissante strictement sur chacun des intervalles, notamment sur I.

Supposons que x soit un élément de I.
C'est-à-dire x < -3.

La stricte croissance de f implique que f(x) < f(-3).

Or, que vaut f(-3) ? c'est -3, d'après 1). Dont f(x) est dans I.

Cela montre que tout nombre de I a son image par f dans I.

En particulier, si U(0) est dans I, alors U(1) = f(U(0)) sera aussi dans I.
Donc U(2) = f(U(1)) aussi, etc.

C'est une récurrence qui permet de montrer ça proprement.

e,
mon prof a rajoute la question suivante :
Resoudre l' inequation f(x)> x . En deuire que (un) est croissante sur Uo<-3 et decroissante sinon.
J' ai resoulus l' inequation et je touve comme solution: S=]- infini;-3]
Mais je vois pas trop quoi en deduire
merci

hum.
si f(x) > x sur ]-inf/ ; -3[, alors avec $U_0$ < -3, alors tu en déduis que $U_1$ = $f(U_0$ ) > $U_0$ , non ?
et ainsi de suite.

bonjour, est ce que quelqun pourait m' aider svp pour la question suivante:
comment on fait pour demontrer que quel que soit uo, la suite converge.
merci beaucoup