Etudier le sens de variation d'une fonction rationnelle


  • X

    Bonjour, est ce que quelqun pourait m'aider pour l' exercice suiavant svp.
    Soit (Un) la suite definie par la donnee de u0 et la relation de recurrence Un+1= f(Un) ou f est la fonction definie sur R par f(x)= sqrt[3]sqrt[3]sqrt[3] 3x+1) -1
    1)Resoudre l'equation f(x)=x. En deduire les limtes possibles de la suite (Un).
    ma reponse:
    3x+1)^(1/3) - 1 = x
    (3x+1)^(1/3)=x+1
    3x+1 = (x+1)^3=x^3+3x²+3x+1
    x^3+3x²=0
    x²(x+3)=0
    x=0 x=-3

    2)On considere les intervalles I=]- infini;-3[, J=[-3;0[ et K=[0;+infini[
    a) Etudier le sens de variation de f.
    ma reponse:
    f ' (x) = 1/((3x+1)^(2/3)) , donc la fonction f est strictement croisannte .

    b)En deduire que si Uo appartient a I alors Un appartient a I pour tout n appartenent a N. Demontrer un resultat analogue pour les intervalles J et K.
    C'est a cette question que je bloque

    Veuillez m' aider svp
    merci beaucoup
    sqrt[3]sqrt[3]sqrt[3]


  • Zauctore

    Salut xavier005.

    A la 1re question, n'oublie pas les limites éventuelles de ta suite récurrente (ce sont les solutions de f(x)=x).

    Tu as montré que f est croissante strictement sur chacun des intervalles, notamment sur I.

    Supposons que x soit un élément de I.
    C'est-à-dire x < -3.

    La stricte croissance de f implique que f(x) < f(-3).

    Or, que vaut f(-3) ? c'est -3, d'après 1). Dont f(x) est dans I.

    Cela montre que tout nombre de I a son image par f dans I.

    En particulier, si U(0) est dans I, alors U(1) = f(U(0)) sera aussi dans I.
    Donc U(2) = f(U(1)) aussi, etc.

    C'est une récurrence qui permet de montrer ça proprement.


  • X

    e,
    mon prof a rajoute la question suivante :
    Resoudre l' inequation f(x)> x . En deuire que (un) est croissante sur Uo<-3 et decroissante sinon.
    J' ai resoulus l' inequation et je touve comme solution: S=]- infini;-3]
    Mais je vois pas trop quoi en deduire
    merci


  • Zauctore

    hum.
    si f(x) > x sur ]-inf/ ; -3[, alors avec U0U_0U0 < -3, alors tu en déduis que U1U_1U1 = f(U0f(U_0f(U0) > U0U_0U0, non ?
    et ainsi de suite.


  • X

    bonjour, est ce que quelqun pourait m' aider svp pour la question suivante:
    comment on fait pour demontrer que quel que soit uo, la suite converge.
    merci beaucoup


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