Récurrence, fonction polynôme et suites.

[geobioman]

Bonjour, j'ai quatre exercices à faire pour demain, c'est le début de l'année et j'ai encore du mal à me mettre dans le bain. J'ai réussi à en faire la moitié de deux, les autres sans résultats.

Exercice 1:
On pose tn=5+3x4^(n+2)+10^n où n est un entier naturel.
Démontrer par récurrence que la propriété "tn est divisible par 9" est vraie pour tout entier naturel n.

Voilà ma réponse:

tn=5+3x4^(n+2)+10^n
Proposition: tn est divisible par 9.

_ initialisation:
t0=5+3x4²+1=5+3x16+1=54
54/6=9 donc la proposition est vraie.

_ hyppothèse de récurrence:
Supposant que pour un entier naturel quelconque p, la proposition soit vraie.
tp=5+3x4^(p+2)+10^p

_ hérédité:
tp+1=5+3x4^(p+3)+10^(p+1)=?

Je bloque donc à partir de l'étape hérédité.

Exercice 2:

Q est la fonction polynôme définie sur R par: Q(x)=x^3/3-x²/2+x/6.

1. Vérifier que pour tout réel x: Q(x+1)-Q(x)=x²
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Q(n) est un entier naturel.

Exercice 3:

On note n!=1x2x3x...xn et on lit "factorielle n".
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, on a: 1+2x2!+3x3!+...+nxn!=(n+1)!-1

Ici, je ne vois même pas comment développer l'étape initialisation.

Exercice 4:

La suite (un) est définie par u0=1 et pour tout entier naturel n par: un+1=((un)+4)/((un)-2).
On pose, pour tout entier n, Vn=((un)+1)/((un)-4).

1. Démontrer que la suite (Vn) est géométrique.
2. Exprimer Vn, puis (un) en fonction de n.

Ici, je fais le rapport de Vn+1/Vn et je trouve -2/3, c'est donc une suite géométrique de raison -2/3.

Voilà ma réponse à la première question. Mais je n'arrive pas à faire la question 2).

Merci.

[Zorro]

Bonjour et bienvenue sur ce forum,

Quelques remarques pour le confort de tout le monde (toi et les personnes qui auraient envie de te répondre) :

Pour suivre les réponses il est préférable de ne mettre qu'un exercice par message ... Sinon on se perd très vite entre ex1 ou ex4 etc ....

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des symboles mathématiques, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, afin de pouvoir faire la différence entre $U_{n+1}$ et $U_n$ + 1 merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des puissances, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.