Nombres complexe z^4=1



  • kikou all
    Bon voila j'ai un probleme pour resoudre l'equation z^4=1
    j'ai posé z = x +iy
    soit :
    (x+iy)^4=1
    (x+iy)² (x+iy)² = 1
    (x² + 2ixy - y²) (x² + 2ixy - y²) = 1
    x^4 + 2ix^3y - x²y² + 2ix^3y + 4i²x²y² - 2ixy^3 - x²y² - 2ixy^3 + y^4 = 1
    (x^4 + y^4 - 6x²y²) + i (4x^3y - 4xy^3) = 1

    et la je suis bloqué, je sais pas comment resoudre cela :s
    Si quelqu'un peut me proposer une méthode, je suis tout ouie.
    Je vous remerci d'avance.
    bye

    Intervention de Zorro = ajout d'espaces pour régler un problème d'affichage



  • Bonjour,

    Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple

    z4z^4 = (z(z^2)2)^2

    donc l'équation devient (z(z^2)2)^2 = 1

    or Z2Z^2 = 1 ⇔ Z = ± 1

    donc il faut donc résoudre

    z2z^2 = 1 donc z = ???

    z2z^2 = -1 donc z = ???



  • c'est vrai que cette méthode semble simple mais pour résoudre z^3 je ne vois pas comment faire :s ( un autre exo qu'on m'a demandé de faire, je pensais le reussir si je savais faire z^4...).



  • z3z^3 = 1 ⇔ z3z^3 - 1 = 0

    1 est racine du polynôme P(z) = z3z^3 - 1

    donc P(z) = (z - 1) (az2(az^2 + bz + 1)

    Il faut donc trouver a , b et c par identification

    et résoudre az2az^2 + bz + 1 = 0



  • hmm merci, je vais essayer de faire ca 🙂



  • euh j'ai le meme exercice que toi et je n'arrive pas a faire l'identification de donc P(z) = (z - 1) (az2 + bz + 1) , on a aucune donnée.



  • ah c'est bon j'ai reussi xD !



  • Ah tu n'as aucune donnée ? ! ?

    Tu lis vraiment tout ce qu'on écrit ?

    P(z) = z3z^3 - 1

    P(z) = (z - 1) (az2(az^2 + bz + 1)



  • Merci quand meme de m'avoir aider a chercher dans cette voie la !



  • Tu sais quand même développer (z - 1) (az2(az^2 + bz + 1)

    et identifier le résultat à z3z^3 - 1



  • moi j'ai dévelopé, je trouve a = 1 b = 1 c = 1 ( me disais que c'etait bizarre )
    apres je trouve z1 = (-1-i√3)/2 et z2 = (-1+i√3)/2
    les resultats semblent bon, j'ai compris la demarche, merci beaucoup

    Mais j'ai un autre probleme :s
    j'ai z'=z²-2(1+i)z
    je trouve z'=x²-y²-2x+2y + i (2xy-2x-2y)
    je dois trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un nombre réel, si je comprend bien, alors la aprtie imaginaire doit etre egale a 0.
    je résouds 2xy-2x-2y= 0 ? je sais pas comment faire :s

    Enfin vala ca me derange de demander de l'aide comme ca, je fais tout mon possible pour trouver la solution seul, mais ce n'est pas evident >.<
    Je demande de l'aide car j'aimerai reussir en maths >.<
    Evidement reussir en comprenant ce que je fais.
    Bon je vous remerci d'avance, bye



  • Je n'ai pas vérifier ton calcul ....

    mais 2xy - 2x - 2y = 0 ⇔ xy - x - y = 0 ⇔ y(x-1) - x = 0
    ⇔ y = x/(x-1)

    Donc les points M d'affixe z = x + iy tels que z' soit un réel sont les points de la représentation graphique de la fonction f(x) = x/(x-1)

    Tout cela est vrai si la condition 2xy - 2x - 2y = 0 est la bonne ....

    Si j'ai 2 minutes je vérifie ...



  • ah, merci beaucoup, moi qui essayais de déterminer les Réels x et y :s
    c'est beaucoup plus simple comme ca ^^



  • bonjour !!
    j'ai actuellement un DM à faire dans lequel j'ai un exercice qui me pose problème:
    Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (o, u, v)
    Soit A,B et C les points d'affixes respectives -4, 3 et i.

    On appelle f l'applictaion du plan P privé de A dans lui même, qui à tout point M d'affixe z(z≠4) associe le point M' d'affixe z' définie par :

    z'= (z-3) / (z+4)

    On me demande de

    1. déterminer les affixes des points invariants par f
    2. donner une interprétation géométrique du module de z
    3. déterminer et représenter l'ensemble E des points M dont les images par f appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1
      😕

    Pour le moment, j'ai éffectué quelques calculs, de simples essais qui ne m'ont rien apporté. Je sais seulement que la question 3 revient à chercher les points M dont les images ont pour module 1.

    pourriez vous me donner quelques pistes svp ?
    merci d'avance !!!



  • πOn a:z^4=1

    Tu poses z^2=Z
    On aura: Z^2=1 ⇒ Z=√1=1 et -√1=-(√1)=-1

    On a donc z²=1 et z²=-1
    Ce qui nous donne z=√1=1 ou -√1=-1 et z=i(i²=-1)

    Vérifions maintenant avec l'égalité de début en utilisant les résultats obtenus.

    . z^4=1 ⇒ 1^4=1×1×1×1=1 (même resultat avec -1)
    . z^4=1 ⇒ i^4=i²×i²=(-1)×(-1)=1
    L'egalité est donc verifiée avec ces trois valeurs(z=1,z=-1,z=i)


  • Modérateurs

    Bonjour mathix,

    Tu as oublié une valeur

    Les solutions de z4=1z^4=1 sont 1 , -1 , i , -i

    ( ce sont les 4 racines 4èmes de 1 )



  • Sympa mathix de répondre à une question posée en septembre 2007 !!!! le poseur de question doit avoir fini par avoir le bac depuis un certain temps, il doit même avoir fini ses études !


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