Nombres complexe z^4=1

kikou all
Bon voila j'ai un probleme pour resoudre l'equation z^4=1
j'ai posé z = x +iy
soit :
(x+iy)^4=1
(x+iy)² (x+iy)² = 1
(x² + 2ixy - y²) (x² + 2ixy - y²) = 1
x^4 + 2ix^3y - x²y² + 2ix^3y + 4i²x²y² - 2ixy^3 - x²y² - 2ixy^3 + y^4 = 1
(x^4 + y^4 - 6x²y²) + i (4x^3y - 4xy^3) = 1

et la je suis bloqué, je sais pas comment resoudre cela :s
Si quelqu'un peut me proposer une méthode, je suis tout ouie.
Je vous remerci d'avance.
bye

Intervention de Zorro = ajout d'espaces pour régler un problème d'affichage

Bonjour,

Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple

$z^4$ = $(z$ ^2 $^2$

donc l'équation devient $(z$ ^2 $^2$ = 1

or $Z^2$ = 1 ⇔ Z = ± 1

donc il faut donc résoudre

$z^2$ = 1 donc z = ???

$z^2$ = -1 donc z = ???

c'est vrai que cette méthode semble simple mais pour résoudre z^3 je ne vois pas comment faire :s ( un autre exo qu'on m'a demandé de faire, je pensais le reussir si je savais faire z^4...).

$z^3$ = 1 ⇔ $z^3$ - 1 = 0

1 est racine du polynôme P(z) = $z^3$ - 1

donc P(z) = (z - 1) $az^2$ + bz + 1)

Il faut donc trouver a , b et c par identification

et résoudre $az^2$ + bz + 1 = 0

hmm merci, je vais essayer de faire ca

euh j'ai le meme exercice que toi et je n'arrive pas a faire l'identification de donc P(z) = (z - 1) (az2 + bz + 1) , on a aucune donnée.

ah c'est bon j'ai reussi xD !

Ah tu n'as aucune donnée ? ! ?

Tu lis vraiment tout ce qu'on écrit ?

P(z) = $z^3$ - 1

P(z) = (z - 1) $az^2$ + bz + 1)

Merci quand meme de m'avoir aider a chercher dans cette voie la !

Tu sais quand même développer (z - 1) $az^2$ + bz + 1)

et identifier le résultat à $z^3$ - 1

moi j'ai dévelopé, je trouve a = 1 b = 1 c = 1 ( me disais que c'etait bizarre )
apres je trouve z1 = (-1-i√3)/2 et z2 = (-1+i√3)/2
les resultats semblent bon, j'ai compris la demarche, merci beaucoup

Mais j'ai un autre probleme :s
j'ai z'=z²-2(1+i)z
je trouve z'=x²-y²-2x+2y + i (2xy-2x-2y)
je dois trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un nombre réel, si je comprend bien, alors la aprtie imaginaire doit etre egale a 0.
je résouds 2xy-2x-2y= 0 ? je sais pas comment faire :s

Enfin vala ca me derange de demander de l'aide comme ca, je fais tout mon possible pour trouver la solution seul, mais ce n'est pas evident >.<
Je demande de l'aide car j'aimerai reussir en maths >.<
Evidement reussir en comprenant ce que je fais.
Bon je vous remerci d'avance, bye

Je n'ai pas vérifier ton calcul ....

mais 2xy - 2x - 2y = 0 ⇔ xy - x - y = 0 ⇔ y(x-1) - x = 0
⇔ y = x/(x-1)

Donc les points M d'affixe z = x + iy tels que z' soit un réel sont les points de la représentation graphique de la fonction f(x) = x/(x-1)

Tout cela est vrai si la condition 2xy - 2x - 2y = 0 est la bonne ....

Si j'ai 2 minutes je vérifie ...

ah, merci beaucoup, moi qui essayais de déterminer les Réels x et y :s
c'est beaucoup plus simple comme ca ^^

bonjour !!
j'ai actuellement un DM à faire dans lequel j'ai un exercice qui me pose problème:
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (o, u, v)
Soit A,B et C les points d'affixes respectives -4, 3 et i.

On appelle f l'applictaion du plan P privé de A dans lui même, qui à tout point M d'affixe z(z≠4) associe le point M' d'affixe z' définie par :

z'= (z-3) / (z+4)

On me demande de

déterminer les affixes des points invariants par f
donner une interprétation géométrique du module de z
déterminer et représenter l'ensemble E des points M dont les images par f appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1

Pour le moment, j'ai éffectué quelques calculs, de simples essais qui ne m'ont rien apporté. Je sais seulement que la question 3 revient à chercher les points M dont les images ont pour module 1.

pourriez vous me donner quelques pistes svp ?
merci d'avance !!!

πOn a:z^4=1

Tu poses z^2=Z
On aura: Z^2=1 ⇒ Z=√1=1 et -√1=-(√1)=-1

On a donc z²=1 et z²=-1
Ce qui nous donne z=√1=1 ou -√1=-1 et z=i(i²=-1)

Vérifions maintenant avec l'égalité de début en utilisant les résultats obtenus.

. z^4=1 ⇒ 1^4=1×1×1×1=1 (même resultat avec -1)
. z^4=1 ⇒ i^4=i²×i²=(-1)×(-1)=1
L'egalité est donc verifiée avec ces trois valeurs(z=1,z=-1,z=i)

Bonjour mathix,

Tu as oublié une valeur

Les solutions de $z^4=1$ sont 1 , -1 , i , -i

( ce sont les 4 racines 4èmes de 1 )

Sympa mathix de répondre à une question posée en septembre 2007 !!!! le poseur de question doit avoir fini par avoir le bac depuis un certain temps, il doit même avoir fini ses études !