Montrer des égalités par récurrence

bonjour a tous
voila je n'arrive pas résoudre un exercice et ne sais pas comment le résoudre

La suite (Un) est définie par U1=3/2 et pour tout entier n >= 1
$U_{n+1}$ = $(1 / 2) (U$ _n $2/U_n$ )

1/ démontrez que, pour tout entier n>= 1, $U_n$ > 0
demontrez que pour tout n>= 1
$U_{n+1}$ - √2 = $1/2)[(U_n$ -√ 2)² $U_n$ ]
déduisez-en que pour tout n 1, $U_n$ > √ 2

2/ demontrez que pour tout n>= 1
$U_{n+1}$ - √2 = $1/2)[(U_n$ - 2)² $U_n$ ]
déduisez-en que pour tout n 1, $U_n$ > √ 2

3/démontrez que, pour tout n >=1
$U_{n+1}$ - √2 $1/2)(U_n$ - $2)+1/U_n$ -1/√2
déduisez(en que, pour tout n 1, $U_{n+1}$ - √2 < $1/2^n$

4/ la suite admet-elle une limite? ci oui calculez la

pour la premiere j'ai fait recurence pas de probleme

par contre pour la 2 je ne sais pas si il faut faire recurence ou non
pour prouver que que Un > 0 je ne sais pas non plus je pense étudier la variation de Un mais je bloque ( j'obtien $U_{n²}$ $2)/2U_n$ => mais je peux rien en faire)
pour la 3 idem je sais pas comment utiliser la recurence sur ce calcul
pour la 4 pas compris comment faire

si on pouvait m'expliquer
je vous en serait reconnaissant merci bien

Bonjour
Pour savoir comment envoyer un scan ou une image et quels scans ont tolérés ici, il faut lire le message écrit en rouge dans la page d'accueil ; clique sur ce qui est dessous c'est un lien

Insérer une image dans son message

ah...désoler
j'ai repris l'exercice

C'et déjà un bel effort mais

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des symboles mathématiques, comme $s q r t$ merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, afin de pouvoir faire la différence entre $U_{n+1}$ et $U_n$ + 1 merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des puissances, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

Donc tu peux encore modifier ton énoncé pour qu'on puisse avoir si tu parles de

$U_n$ + 2 ou $U_{n+2}$

c'est vrai que maintenant c'est plus lisible et encore désolé... je sais que je suis pressé mais j'aurais du tout lire avant ...

si il y a une autre modif previens moi

Donc tu as démontré par récurrence que pour tout entier n≥ 1, $U_n$ > 0 :

En disant que c'est vrai pour n = 1 et que si $U_n$ > 0 alors $U_{n+1}$ > 0

Tu as développé (1/2) $U_n$ - $2)^2$ / $U_n$ ]

et tu as trouvé le même résultat que $U_{n+1}$ - $s q r t$ 2

Donc puis que $U_n$ - $2)^2$ est ???? et que $U_n$ est ??

alors (1/2) $U_n$ - $2)^2$ / $U_n$ ] est ???

donc $U_{n+1}$ - $s q r t$ 2 est ??? donc $U_{n+1}$ ??? $s q r t$ 2

Tu en est où après ?