Propriétés logarithmiques mpsi (bonne chance!)



  • Bonjour,

    Il m'est demandé de démontrer l'implication suivante :

    Si f est continue sur mathbbRmathbb{R}+ et vérifie ∀ x;y ∈ mathbbRmathbb{R}+ f(xy) = f(x) + f(y)

    Alors ∃ k ∈ mathbbRmathbb{R} tel que : f(X) = k × ln(X)

    Voilà, on ne sait pas si f est dérivable et je n'ai a priori pas le droit d'utiliser l'exponentielle (que je n'ai pas vu encore cette année) , mais je pourrais éventuellement la construire sur place en disant seulement que c'est la réciproque de ln.


  • Modérateurs

    Salut zoombinis,

    La définition de ln(x) étant qu'elle est la primitive de 1/x qui s'annule en 1, il me semble que cela donne une envie folle de dériver l'égalité que l'on te donne et de montrer que : ∀x, f '(x)=k/x ...

    Bon courage pour cette longue et riche année de mpsi !



  • Merci,
    Le problème résidé aussi dans le fait qu'on ne sait pas si f est dérivable , mais bon tout est rentré dans l'ordre. Notre prof nous avez donné cet exercice à faire en nous disant qu'il nous le mettrait en interro aujourd'hui et aujourd'hui il nous a fait "non mais en fait vous pouvez pas le trouver avec ce qu'on a fait maintenant". Il nous l'avez donné juste pour qu'on cherche sans forcément trouver la solution enfin bref il a bien fait monté la peur.


  • Modérateurs

    AH! Honte à moi j'ai dérivé du non dérivable! Désolé...
    Oui effectivement il existe d'autres solutions sans dériver mais ça utilise des gros mots comme morphisme (voire isomorphisme), espace vectoriel, corps ou même dual que tu n'a sans doute pas encore vus...

    En tous cas ton prof est un vrai prof de prépa sadique, comme on en voit parfois...ou alors il s'est gouré en donnant l'exercice et a pas voulu l'avouer (?)


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