Exercice Suite



  • Bonjour !

    Voilà j'ai un petit problème avec un exercice sur les suites, j'espère que vous pourrez me donner un petit coup de main 😉

    Voici les grandes lignes de l'énnoncé :

    1) Le 1er janvier 1990, le prix d'un objet est P0P_0. L'inflation est de 3 % par an à partir de 1990. Calculer le prix de P1P_1 de cet objet au bout d'un an, P2P_2 au bout de 2 ans et PnP_n au bout de n années.

    Bon là je pense avoir réussi, je trouve une suite géométrique définit par :

    PnP_n = P0P_0 x (1.03)n03)^n

    2) Au bout de combien d'années le prix de l'objet aura t-il été multiplié par 2 ? Le temps nécessaire dépend-il du prix de départ P0P_{0 }?

    J'ai dit que (1.03)n03)^n devait être supérieur à 2.
    Donc grâce à la calculette je trouve que (1.03)n03)^n > 2 à partir du rang n = 24.
    Et donc le temps nécessaire ne dépend pas de P0P_0

    *3) Dans cette question, on suppose que l'inflation est de 3 % une année, -3 % la suivante (il y a désinflation), le cycle se reproduisant par période de 2 ans (3% en 90, -3 % en 91, 3% en 92, -3 % en 93 ...)

    Quel est le prix de l'objet en fonction de P0P_0 au bout de 2 ans ? au bout de 4 ans ? Calculer le prix de P2nP_{2n} au bout de 2n années.

    Puis montrer que P2nP_{2n} < P0P_0. Aurait-on P2nP_{2n} < P0P_0 si les taux d'inflation et de désinflation étaient respectivement i% et -i% (0 < i < 100)

    Calculer P2n+1P_{2n+1} pour i=3*

    Bon là en prennant un exemple, on remarque que le prix de l'objet ne cesse de diminuer.
    Donc en focntion de P0P_0, au bout de 2 ans on a :

    Prix de l'objet en 91 = (P0(P_0 x 1.03) x 0.97
    Prix de l'objet en 93 = P0P_0 x 1.03 x 0.97) x 1.03 x 0.97
    soit 0.9991P09991P_0x 0.9991

    Enfin ca reste assez flou cette formulation, nan ?

    Enfin si je continue comme ça, P2nP_{2n} = P0P_0 x 0.9991n9991^n

    Voilà je voulais vous demandez si ma démarche et mes calculs sont exacts pour le moment, avant de ma lancer dans la suite moins évidente^^

    Merci 🙂



  • Bonjour,

    Pour le moment tout me semble bon

    En effet une augmentation de 3% suivie d'une diminution de 3% correspond bien à une multiplication par le coefficient 1,03 * 0,97 = 0,9991

    Donc tous les 2 ans le prix est multiplié par 0,9991.

    La démonstration par récurrence devrait être faisable



  • Ok merci de ton avis. J'ai bossé la fin de l'exo cette aprème et voilà ce que ça me donne :

    *Pour la question : Montrer que P2nP_{2n}< P0P_0
    Puis-je seulement dire que comme (0.9991)n9991)^n< 1 (c'est toujours pour tout n de lN) , alors P2nP_{2n} qui vaut P0P_0 x (0.9991)n9991)^n est toujours inférieur à P0P_0 ?
    Ou alors dois-je passer obligatoirement par un raisonnement par récurrence ?

    • Pour savoir si P2nP_{2n} < P0P_0 avec 0< i <100, même question dois-je passer par une récurrence, ou puis-je juste dire que plus n est grand, et plus (0.9991)n9991)^n est petit ?

    • Enfin pour calculer P2n+1P_{2n+1}, je ne vois pas trop où je dois en venir... Je dois juste dire que P2n+1P_{2n+1} = P0P_0 x (0.9991)n+19991)^{n+1} nan ?



  • pouvez vous nous aidez pour la question 3 svp?



  • Zorro

    La démonstration par récurrence devrait être faisable

    J'ai essayé mais je bloque à la l'hérédité !

    P2n+1P_{2n+1} = P0P_0 x 0.9991n+19991^{n+1} = P0P_0 x 0.9991n9991^n x 0.9991

    Or cette formule (avec un exemple) correspond plutot à P2n+2P_{2n+2}...

    Peut-on m'aider s'il vous plait ?


 

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