Résoudre un problème de prix et d'inflation en utilisant les suites

Bonjour !

Voilà j'ai un petit problème avec un exercice sur les suites, j'espère que vous pourrez me donner un petit coup de main

Voici les grandes lignes de l'énnoncé :

1) Le 1er janvier 1990, le prix d'un objet est $P_0$ . L'inflation est de 3 % par an à partir de 1990. Calculer le prix de $P_1$ de cet objet au bout d'un an, $P_2$ au bout de 2 ans et $P_n$ au bout de n années.

Bon là je pense avoir réussi, je trouve une suite géométrique définit par :

$P_n$ = $P_0$ x (1. $03)^n$

2) Au bout de combien d'années le prix de l'objet aura t-il été multiplié par 2 ? Le temps nécessaire dépend-il du prix de départ $P_{0 }$ ?

J'ai dit que (1. $03)^n$ devait être supérieur à 2.
Donc grâce à la calculette je trouve que (1. $03)^n$ > 2 à partir du rang n = 24.
Et donc le temps nécessaire ne dépend pas de $P_0$

*3) Dans cette question, on suppose que l'inflation est de 3 % une année, -3 % la suivante (il y a désinflation), le cycle se reproduisant par période de 2 ans (3% en 90, -3 % en 91, 3% en 92, -3 % en 93 ...)

Quel est le prix de l'objet en fonction de $P_0$ au bout de 2 ans ? au bout de 4 ans ? Calculer le prix de $P_{2n}$ au bout de 2n années.

Puis montrer que $P_{2n}$ < $P_0$ . Aurait-on $P_{2n}$ < $P_0$ si les taux d'inflation et de désinflation étaient respectivement i% et -i% (0 < i < 100)

Calculer $P_{2n+1}$ pour i=3*

Bon là en prennant un exemple, on remarque que le prix de l'objet ne cesse de diminuer.
Donc en focntion de $P_0$ , au bout de 2 ans on a :

Prix de l'objet en 91 = $P_0$ x 1.03) x 0.97
Prix de l'objet en 93 = $P_0$ x 1.03 x 0.97) x 1.03 x 0.97
soit 0. $9991P_0$ x 0.9991

Enfin ca reste assez flou cette formulation, nan ?

Enfin si je continue comme ça, $P_{2n}$ = $P_0$ x 0. $9991^n$

Voilà je voulais vous demandez si ma démarche et mes calculs sont exacts pour le moment, avant de ma lancer dans la suite moins évidente^^

Merci

Bonjour,

Pour le moment tout me semble bon

En effet une augmentation de 3% suivie d'une diminution de 3% correspond bien à une multiplication par le coefficient 1,03 * 0,97 = 0,9991

Donc tous les 2 ans le prix est multiplié par 0,9991.

La démonstration par récurrence devrait être faisable

Ok merci de ton avis. J'ai bossé la fin de l'exo cette aprème et voilà ce que ça me donne :

*Pour la question : Montrer que $P_{2n}$ < $P_0$
Puis-je seulement dire que comme (0. $9991)^n$ < 1 (c'est toujours pour tout n de lN) , alors $P_{2n}$ qui vaut $P_0$ x (0. $9991)^n$ est toujours inférieur à $P_0$ ?
Ou alors dois-je passer obligatoirement par un raisonnement par récurrence ?

Pour savoir si $P_{2n}$ < $P_0$ avec 0< i <100, même question dois-je passer par une récurrence, ou puis-je juste dire que plus n est grand, et plus (0. $9991)^n$ est petit ?
Enfin pour calculer $P_{2n+1}$ , je ne vois pas trop où je dois en venir... Je dois juste dire que $P_{2n+1}$ = $P_0$ x (0. $9991)^{n+1}$ nan ?

pouvez vous nous aidez pour la question 3 svp?

Zorro

La démonstration par récurrence devrait être faisable

J'ai essayé mais je bloque à la l'hérédité !

$P_{2n+1}$ = $P_0$ x 0. $9991^{n+1}$ = $P_0$ x 0. $9991^n$ x 0.9991

Or cette formule (avec un exemple) correspond plutot à $P_{2n+2}$ ...

Peut-on m'aider s'il vous plait ?