suite récurrente : série des cubes des nombres impairs



    1. développer (a+b)^3 et (a+b)^4

    2.on pose Sn=1^3 +3^3 +...+(2n-1)^3 pour tout entier n >= 1.

    a) calculer S1, S2, S3.

    b) démontrer par récurrence, que pour tout entier n >= 1, Sn= 2n^4 -n ^2 .

    j'ai fait le 1. et le 2 a). je trouve pas la suite, ni le lien avec 1.

    merci d'avance



  • Salut.
    Sans entrer dans les détails, je trouve, en supposant que pour un certain n, on a S <em>n<em>n = 2 n 4^4 - n^2 :
    S </em>n+1</em>{n+1} = 2 n 4^4 + 8 n^3 + 11 n^2 + 6 n + 1
    ainsi que
    2 (n+1)4(n+1)^4 - (n+1)^2 = la même chose.
    Le 1) sert à développer (n+1) 4^4.
    La récurrence est à rédiger.



  • bonjour et , déjà: merci
    je reprend le boulot!
    j'ai compris la démarche. par contre, je ne vois pas comment tu obtiens le résultat Sn+1. bon ... je cherche.



  • S n+1_{n+1} , c'est S n_n + (2n+1)^3 .
    Avec l'hypothèse de récurrence, etc.



  • soit P(n) la proprété; pour tout entier n 1, Sn= 2n^4 -n avec

    Sn=SOM(2k-1)^3 pour k compris entre 1 et n.

    l'objectif et de montrer que si p(n) est vraie alors p(n+1) l'est aussi

    prenons des valeurs simples de n pour verifier la relation (n=1)

    p(1) fournit SOM(2k-1)^3 pour k compris entre 1 et 1 soit 1=1 rien de compliqué et la propriété pour n=1 est verifiée.

    supposons p(n) vraie montrons que p(n+1) l'est aussi;

    SOM(2k-1)^3 pour k compris entre 1 et n+1 = (2n+1)^3+SOM(2k-1)^3
    pour k compris entre 1 et n.

    considerant que p(n) est vraie SOM(2k-1)^3 =n²(2n²-1)

    il ne reste plus qu' a develloper l'expression (2n+1)^3+n²(2n²-1)=
    2n^4+8n^3+11n²+6n+1.

    en divisant cette expression par (n+1)² , on obtient:
    2n^4+8n^3+11n²+6n+1=(n+1)².(2n²+4n)+(n²+2n+1)=
    (n+1)².(2n²+4n+1)=(n+1)².(2(n+1)²-1)=2(n+1)^4-(n+1)² ce qui correspond à P(n+1) ce qu'on voulait! donc pour tout n>=1 p(n) est vraie.



  • merci à tous les deux. J'ai réussi!!!
    Je suis bien contente d'avoir trouvé de l'aide.
    C'était ma première participation au forum, j'espère que j'ai été bien!
    je cours rédiger mon devoir.
    A bientôt



  • Ok.
    Tu penseras juste à l'avenir :

    1. à dire bonjour en postant le sujet
      et
    2. à montrer un peu ce que tu as fait.
      On est content de t'avoir aidée.


  • Bonjour,

    Désolé de revenir sur ce sujet, mais je n'ai pas compris comment on passe de Sn de l'énoncé à S n = 2 n 4 - n^2

    Merci.



  • Bonjour

    En fait on ne passe pas du "Sn de l'énoncé à S n = 2 n^4 - n^2" mais on prouve que la formule donnée est vraie par récurrence.

    Car trouver ladite formule à l'oeil n'est pas évident en soi !



  • Ah j'ai compris !
    Il faut calculer s1 s2 et s3 avec la formule (2n-1)^3 pour cela on a calculer auparavant (a+b)^3

    et seulement ensuite démontrer la récurrence et donc trouver l'autre formule.

    Merci beaucoup !


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