suite récurrente : série des cubes des nombres impairs

développer (a+b)^3 et (a+b)^4

2.on pose Sn=1^3 +3^3 +...+(2n-1)^3 pour tout entier n >= 1.

a) calculer S1, S2, S3.

b) démontrer par récurrence, que pour tout entier n >= 1, Sn= 2n^4 -n ^2 .

j'ai fait le 1. et le 2 a). je trouve pas la suite, ni le lien avec 1.

merci d'avance

Salut.
Sans entrer dans les détails, je trouve, en supposant que pour un certain n, on a S $< e m > n$ = 2 n $^4$ - n^2 :
S $em>{n+1}$ = 2 n $^4$ + 8 n^3 + 11 n^2 + 6 n + 1
ainsi que
2 $n+1)^4$ - (n+1)^2 = la même chose.
Le 1) sert à développer (n+1) $^4$ .
La récurrence est à rédiger.

bonjour et , déjà: merci
je reprend le boulot!
j'ai compris la démarche. par contre, je ne vois pas comment tu obtiens le résultat Sn+1. bon ... je cherche.

S $_{n+1}$ , c'est S $_n$ + (2n+1)^3 .
Avec l'hypothèse de récurrence, etc.

soit P(n) la proprété; pour tout entier n 1, Sn= 2n^4 -n avec

Sn=SOM(2k-1)^3 pour k compris entre 1 et n.

l'objectif et de montrer que si p(n) est vraie alors p(n+1) l'est aussi

prenons des valeurs simples de n pour verifier la relation (n=1)

p(1) fournit SOM(2k-1)^3 pour k compris entre 1 et 1 soit 1=1 rien de compliqué et la propriété pour n=1 est verifiée.

supposons p(n) vraie montrons que p(n+1) l'est aussi;

SOM(2k-1)^3 pour k compris entre 1 et n+1 = (2n+1)^3+SOM(2k-1)^3
pour k compris entre 1 et n.

considerant que p(n) est vraie SOM(2k-1)^3 =n²(2n²-1)

il ne reste plus qu' a develloper l'expression (2n+1)^3+n²(2n²-1)=
2n^4+8n^3+11n²+6n+1.

en divisant cette expression par (n+1)² , on obtient:
2n^4+8n^3+11n²+6n+1=(n+1)².(2n²+4n)+(n²+2n+1)=
(n+1)².(2n²+4n+1)=(n+1)².(2(n+1)²-1)=2(n+1)^4-(n+1)² ce qui correspond à P(n+1) ce qu'on voulait! donc pour tout n>=1 p(n) est vraie.

merci à tous les deux. J'ai réussi!!!
Je suis bien contente d'avoir trouvé de l'aide.
C'était ma première participation au forum, j'espère que j'ai été bien!
je cours rédiger mon devoir.
A bientôt

Ok.
Tu penseras juste à l'avenir :

à dire bonjour en postant le sujet
et
à montrer un peu ce que tu as fait.
On est content de t'avoir aidée.

Bonjour,

Désolé de revenir sur ce sujet, mais je n'ai pas compris comment on passe de Sn de l'énoncé à S n = 2 n 4 - n^2

Merci.

Bonjour

En fait on ne passe pas du "Sn de l'énoncé à S n = 2 n^4 - n^2" mais on prouve que la formule donnée est vraie par récurrence.

Car trouver ladite formule à l'oeil n'est pas évident en soi !

Ah j'ai compris !
Il faut calculer s1 s2 et s3 avec la formule (2n-1)^3 pour cela on a calculer auparavant (a+b)^3

et seulement ensuite démontrer la récurrence et donc trouver l'autre formule.

Merci beaucoup !