Exercice avec méthode d'Euler



  • Bonjour ,

    J'ai cet exercice à faire et je voudrais avoir une aide.
    Pour le moment je vous poste mon sujet et dans mon deuxième poste ce sera ce que j'ai fait .
    Merci d'avance pour l'attention que vous porterez a ce sujet.

    On se propose d'étudier les fonctions f dérivables sur [ 0 ; +infini[ vérifiant la condition :

    (1) {pour tout x € [ 0 ; +infini[ f(x) f'(x) = 1
    {f(0) = 1

    Partie A :

    ON suppose qu'il existe une fonction f qui vérifie (1) .
    La méthode d'Euler permet de construire une suite de points (Mn) proches de la courbe représentative de la fonction f.
    On choisit le pas h= 0.1
    Justifier que les coordonnés (xn, yn) des points Mn obtenus en appliquant cette méthode avec ce pas vérifient :
    {xo = 0 { xn+1 = xn + 0.1
    {yo = 1 et { yn+1 = yn + 0.1/yn pour tout entier naturel n.

    Calculer les coordonnées des points M1,M2, M3, M4 ,M5 (on arrondira au millième les valeurs trouvées).

    Partie B :

    On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement positive sur [ 0 ; +infini[.

    1. Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s'annule pas sur [ 0 ; +infini[.
    2. On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu'il existe un réel a strictement positif tel que f(a)<0.
      En déduire que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0, a].
    3. Conclure.

    Partie C : Existence et unicité de la fonction f.

    1. Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction uu' sur cet intervalle.
    2. En déduire que si f est telle que , pour tout x de [ 0 ; +infini[ , f(x)f'(x) = 1 alors il existe une constante C telle que : pour tout x de [ 0 ; +infini[ , (f(x))² = 2x+C.
    3. On rappelle que f(o) = 1. Déterminer l'expression de fx) pour x réel positif.
    4. En déduire les valeurs arrondies au millième de f(0.1), f(0.2), f(0.3), f(0.4), f(0.5), puis les comparer avec les valeurs obtenues par la méthode d'Euler.


  • Pour partie A :

    1/ M1 (x1; y1)
    x1 = x0 +h
    y1 = y0 + h x f'(x0)

    f(x0) = y0 ssi f'(x) = 1/f(x) = 1/yn
    donc y1 = y0 + h x 1/f(x)
    y1 = yo + h x (1/yn)

    2/ M1 x1 = x0 + h = 0+0.1 = 0.1
    y1 = y0 + (0.1/y0) = 1 +( 0.1/1) = 1.1

    M2 x2= x1 + h = 0.1 +0.1 = 0.2
    y2 = y1 + (0.1/ y1) = 1.1 + ( 0.1/ 1.1) = 1.191

    ainsi de suite pour les autres points

    Pou la partie B :

    1. Si f s'annule sur [ 0 ; +infini[ on aurait f(x) =0 or ici f(x) = 1/ f'(x) est différent de 0
      donc la fonction f ne s'annule pas.

    2. f(a)< 0 a>0 f(0)=1
      F est dérivable donc elle est continue sur [0; a]
      TVI: Lorsque f est continue sur [0;a] pour tout k compris entre f(0) et f(a), l'équation f(x)= k admet une solution unique alpha qui appartient à [0;a].
      (Tableau de variation)

    Comme a est un réel strictement positif tel que f(a) < 0 alors le tableau de variation montre que l'équation f(x)=0 à une solution unique alpha dans [0;a].

    3.On peut conclure que la fonction f est strictement positivesur [0; +infini[ car elle ne s'annule pas sur [0;+infini[ etqu'elle est continue sur [0;a] donc elle admet au moins une solution dans l'intervalle [0;a].

    Partie C :

    1. primitive de u'u sur [0; + inifini[
      u'u^n avec n = 1
      ( 1 / n+1 ) x u^n+1
      F(x) = u^n+1 / n+1 = u² / 2 = 1/2 u²+k
      F(x) = 1/2 u² +k k, constante

    2. f(x) f'(x) = 1
      Dans le 1 du C on a déterminé une primitive de la fonction uu' or f(x)f'(x) est de la forme uu' donc la primitive de f(x) f'(x) =1/2 f² + C c ,constante
      et la primitive de 1= x+C
      donc 1/2 f² + k = x+c
      f²= (x+k) x 2 -C
      f²= 2x +2k - C
      f²= 2x + C

    (f(x))² = 2x + C avec C constante sur R et pour tout x de [0; + inifin[

    1. f(0) = 1
      pour x =0 :
      (f(0))² = 2x0 + C
      1² = 0+
      1= C
      donc f(x)² = 2x + 1
      alors f(x) = racine 2x+1 = (2x+1) ^1/2

    2. f(0)= racine 2x+1
      ssi f(0.1) = racine 2x 0.1 +1 = 1.095
      f (0.2) = racine 2x0.2+1 = 1.183
      f (0.3) = racine 2x0.3+1 = 1.265
      f (0.4) = racine 2x0.4+1 = 1.342
      f (0.5) = racine 2x0.5+1 = 1.414
      Ces valeurs et les valeurs des coordonnées y des différents points obtenus par la méthode d'Euler sont trés proches (au dixième prés) .

    Pourriez vous m'aider si il y a des fautes.
    Merci beaucoup 😉


 

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