Exercice avec méthode d'Euler

Bonjour ,

J'ai cet exercice à faire et je voudrais avoir une aide.
Pour le moment je vous poste mon sujet et dans mon deuxième poste ce sera ce que j'ai fait .
Merci d'avance pour l'attention que vous porterez a ce sujet.

On se propose d'étudier les fonctions f dérivables sur [ 0 ; +infini[ vérifiant la condition :

(1) {pour tout x € [ 0 ; +infini[ f(x) f'(x) = 1
{f(0) = 1

Partie A :

ON suppose qu'il existe une fonction f qui vérifie (1) .
La méthode d'Euler permet de construire une suite de points (Mn) proches de la courbe représentative de la fonction f.
On choisit le pas h= 0.1
Justifier que les coordonnés (xn, yn) des points Mn obtenus en appliquant cette méthode avec ce pas vérifient :
{xo = 0 { xn+1 = xn + 0.1
{yo = 1 et { yn+1 = yn + 0.1/yn pour tout entier naturel n.

Calculer les coordonnées des points M1,M2, M3, M4 ,M5 (on arrondira au millième les valeurs trouvées).

Partie B :

On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement positive sur [ 0 ; +infini[.

Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s'annule pas sur [ 0 ; +infini[.
On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu'il existe un réel a strictement positif tel que f(a)<0.
En déduire que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0, a].
Conclure.

Partie C : Existence et unicité de la fonction f.

Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction uu' sur cet intervalle.
En déduire que si f est telle que , pour tout x de [ 0 ; +infini[ , f(x)f'(x) = 1 alors il existe une constante C telle que : pour tout x de [ 0 ; +infini[ , (f(x))² = 2x+C.
On rappelle que f(o) = 1. Déterminer l'expression de fx) pour x réel positif.
En déduire les valeurs arrondies au millième de f(0.1), f(0.2), f(0.3), f(0.4), f(0.5), puis les comparer avec les valeurs obtenues par la méthode d'Euler.

Pour partie A :

1/ M1 (x1; y1)
x1 = x0 +h
y1 = y0 + h x f'(x0)

f(x0) = y0 ssi f'(x) = 1/f(x) = 1/yn
donc y1 = y0 + h x 1/f(x)
y1 = yo + h x (1/yn)

2/ M1 x1 = x0 + h = 0+0.1 = 0.1
y1 = y0 + (0.1/y0) = 1 +( 0.1/1) = 1.1

M2 x2= x1 + h = 0.1 +0.1 = 0.2
y2 = y1 + (0.1/ y1) = 1.1 + ( 0.1/ 1.1) = 1.191

ainsi de suite pour les autres points

Pou la partie B :

Si f s'annule sur [ 0 ; +infini[ on aurait f(x) =0 or ici f(x) = 1/ f'(x) est différent de 0
donc la fonction f ne s'annule pas.
f(a)< 0 a>0 f(0)=1
F est dérivable donc elle est continue sur [0; a]
TVI: Lorsque f est continue sur [0;a] pour tout k compris entre f(0) et f(a), l'équation f(x)= k admet une solution unique alpha qui appartient à [0;a].
(Tableau de variation)

Comme a est un réel strictement positif tel que f(a) < 0 alors le tableau de variation montre que l'équation f(x)=0 à une solution unique alpha dans [0;a].

3.On peut conclure que la fonction f est strictement positivesur [0; +infini[ car elle ne s'annule pas sur [0;+infini[ etqu'elle est continue sur [0;a] donc elle admet au moins une solution dans l'intervalle [0;a].

Partie C :

primitive de u'u sur [0; + inifini[
u'u^n avec n = 1
( 1 / n+1 ) x u^n+1
F(x) = u^n+1 / n+1 = u² / 2 = 1/2 u²+k
F(x) = 1/2 u² +k k, constante
f(x) f'(x) = 1
Dans le 1 du C on a déterminé une primitive de la fonction uu' or f(x)f'(x) est de la forme uu' donc la primitive de f(x) f'(x) =1/2 f² + C c ,constante
et la primitive de 1= x+C
donc 1/2 f² + k = x+c
f²= (x+k) x 2 -C
f²= 2x +2k - C
f²= 2x + C

(f(x))² = 2x + C avec C constante sur R et pour tout x de [0; + inifin[

f(0) = 1
pour x =0 :
(f(0))² = 2x0 + C
1² = 0+
1= C
donc f(x)² = 2x + 1
alors f(x) = racine 2x+1 = (2x+1) ^1/2
f(0)= racine 2x+1
ssi f(0.1) = racine 2x 0.1 +1 = 1.095
f (0.2) = racine 2x0.2+1 = 1.183
f (0.3) = racine 2x0.3+1 = 1.265
f (0.4) = racine 2x0.4+1 = 1.342
f (0.5) = racine 2x0.5+1 = 1.414
Ces valeurs et les valeurs des coordonnées y des différents points obtenus par la méthode d'Euler sont trés proches (au dixième prés) .

Pourriez vous m'aider si il y a des fautes.
Merci beaucoup