Exercice sur complexe

Bonjour! Pouvez-vous m'aider sur cet exercice SVP?

Soit (E) l'équation complexe : _
1/z - 2z + z - 1 = 0

Démontrer que z=x+iy avec x E R et y E R est solution de (E) si et seulement si:

-x²-x-3y²+1=0
(2x-1)y=0

2)En déduire la résolution de l'équation (E) dans C.

Merci

Bonjour,

Pour la 1) ce n'est que du calcul bête et méchant , tu remplaces z par x + iy
dans l'equation (E) en faisant bien ressortir partie imaginaire et complexe et tu te sers de la regle :

un nombre complexe Z est nul si et seulement si Im(Z) = 0 et Re(Z) = 0

En 2) tu résous le système

Je n'arrive pas à séparer les imaginaires et réels:
_
(E) : 1/z - 2z + z - 1 = 0
1/(x+yi) - 2(x-yi) + (x+yi) - 1 = 0
1/(x+yi) - 2x + 2yi + x + yi - 1 = 0
1/(x+yi) - x + 3yi - 1 = 0

Comment je fais pour le 1/(x+yi) ?
Merci

Je me demande juste pourquoi l'inventeur du sujet a écrit 1/z - 2z + z - 1 = 0

et pourquoi pas directement 1/z - z - 1 = 0 ....

car il me semble que -2z + z = -z

dans ce cas on aurait 1/z = z + 1

Et on pourrait penser à faire un produit en croix ....

MAis j'ai vraiment un sérieux doute sur le validité de l'expression de l'équation donnée

Non, je me suis trompée mais j'arrive pas à écrire les z(barre).
L'énoncé est :

(E) l'équation complexe :
1/z - 2z(barre) + z - 1 = 0

Donc le 1) :

1/(x+yi) - 2(x-yi) + (x+yi) - 1 = 0
1/(x+yi) - 2x + 2yi + x + yi - 1 = 0
1/(x+yi) - x + 3yi - 1 = 0
(x-iy)/(x²+y²) - x + 3iy - 1 = 0

Après je suis pas sûr:

x/(x²+y²) - iy/(x²+y²) - x + 3iy - 1 = 0
[ x/(x²+y²) - x ] + [ 3iy - iy/(x²+y²) ]
[ ( x - x(x²+y²) ) / (x²+y²)] + [ (3iy(x²+y²) - iy ) / (x²+y²) ] = 0
[ ( x - x³ - xy² ) / (x²+y²) ] + [ (3iyx² + 3iy² - iy ) / (x²+y²) ]= 0

Voila, je crois que j'ai des fautes, pouvez vous m'aidez SVP ?

Bien
Voilà c'est ça qu'il fallait faire multiplier par le conjugué.
Par contre il y a des fautes de calcul je n'ai pas besoin de refaire le calcul pour m'en apercevoir vu que tu ne retombes pas sur le systeme donné dans l'ennoncé.

Je n'arrive pas à retrouver le bon système car j'ai:

1/(x+yi) - 2(x-yi) + (x+yi) - 1 = 0

1/(x+yi) - 2x + 2yi + x + yi - 1 = 0

1/(x+yi) - x + 3yi - 1 = 0

(x-iy)/(x²+y²) - x + 3iy - 1 = 0

x/(x²+y²) - iy/(x²+y²) - x + 3iy - 1 = 0

[ x/(x²+y²) - x -1 ] + [ 3iy - iy/(x²+y²) ] = 0

[( x - x(x²+y²) - 1(x²+y²)) / (x²+y²)]+[ (3iy(x²+y²) - iy ) / (x²+y²)= 0

[( x - x³ - xy² - x² - y²) / (x²+y²) ] + [ (3iyx² + 3iy² - iy) /(x²+y²) ]= 0

Pouvez-vous m'aidez SVP ?

bonjour
je crois qu'il vaut mieux procéder ainsi:

1/z - 2(x-iy) + (x+iy) + 1 = 0

on réduit un peu

1/z + (-x-1) + 3iy + 1 = 0

on réduit encore

1/z = (x+1) - 3iy

et là

[(x+1) - 3iy] (x + iy) = 1

en développant et en identifiant les parties réelles et imaginaires ça doit marcher (à une erreur de calcul près c'est la bonne méthode)
@+

*Intervention de Zorro j'ai un peu aéré pour rendre le tout plus agréable à lire *