Les suites et démonstration par récurence

Bonjour j'ai un exo sur lequel je bloque

La suite (un) est définie par Uo= -3 et pour tout entier n:

Un+1= (Un -8)/ (2Un-9)

1.Représentez graphiquement la fonction f définie pour tout réel x diférent de 9/2
par
f(x)= (x-8)/(2x-9)

b.Utiliser cette representation graphique pour conjecturer le comportement de la suite (Un).

2.Demontrer par recurence que pour tout n, Un<1
3.Demontrer que la suite (Un) est croissante et qu'elle converge.
4.La suite (Vn) est définie pour tout entier n par
Vn = 1-Un

Demontrer que pour tout n Vn+1 < 1/7 Vn
b. En déduire par recurence que pour tout N , Vn <(1/7)^n x4
puis calculer la limite de (Vn).

J'ai commencer le début et apres je bloque voici ce que je trouve .

Par lecture graphique on observe que la courbe a un comportement asymptotique

Notons P(n) la propriété "Un<1"
Montrons par récurence que P(n) est vrai pour tout entier naturel n

1.Initialisation
Pour n=0
on a Uo= -3<1
donc p(0) est vraie

2 hérédité
On fixe k dans N on suppose ke P(k) est vraie c'est a dire que
Uk<1
Montrons que P(k+1) est vraie c'est a dire Uk+1<1
Par defintion
Uk+1 =(Uk-8)/(2Uk-9)

Par hypothése de récurence Uk<1
il faut montrer que U(k+1)<1
Or On sais que (Uk-8) et (2Uk-9) sont négatif

Donc 0<(Uk-8)/(2Uk-9)

(Uk-8)/(2Uk-9)=(8-Uk)/(9-2Uk)
je sais qu' un rapport positif est inférieur à 1, si son numérateur est inférieur à son dénominateur
donc je dois démontrer que
(8-Uk)<(9-2Uk)

je bloque pour démontrer mais je voudrais un avis sur cette ré currence car je ne suis pas a l'aise la dessus
merci

Bonjour,

Un début d'aide pour la première question !

Regarde ce jujet

.

Pour montrer qu'une suite est croissante
on étudie la différence
Un+1 - Un > 0

(Un -8) / (2Un -9) - Un > 0
(Un -8) - Un (2Un-9) / 2Un -9

Un-8-2Un²+9Un / 2Un-9
-2Un²+10U-'8 / 2Un-9
et après de la je comptait calculer le discriminant
et faire la dérivés et ainsi trouver les variations de la fonction
je suis en trin de le faire

Mais le lien que je t'ai donné, est-là pour répondre sur la conjecture de la 1ère question : la suite en question admet-elle ou non une limite ?

Les calculs que tu donnes c'est pour la démonstration de la conjecture !

Tu comprends la différence !

Zorro
Mais le lien que je t'ai donné, est-là pour répondre sur la conjecture de la 1ère question : la suite en question admet-elle ou non une limite ?

Les calculs que tu donnes c'est pour la démonstration de la conjecture !

Tu comprends la différence !

j'ai oublier de préciser que cété la question 3!!.
a laquelle il fallait démontrer que la suite était croissante
Desolé
et sinon pour la question pour la conjecture je doi faire les limites en plus et moin infini ??

Oui pour une suite $U_n$ ) il est souvent intêressant de connaître sa limite quand n tend vers l'infini. Donc quand on parle de limite c'est pour n tendant vers l'infini.

Mais cela n'a rien à voir avec la limite de f(x) quand x tend vers l'infini !

As-tu compris ce que j'ai écrit sur le lien que je t'ai donné ?

oui j'ai a peu près compris comment vous avez fait
daccord merci je vais essayer de continuer la fin

sam69
Pour montrer qu'une suite est croissante
on étudie la différence
Un+1 - Un > 0

(Un -8) / (2Un -9) - Un > 0
(Un -8) - Un (2Un-9) / 2Un -9

Un-8-2Un²+9Un / 2Un-9
-2Un²+10Un -8 / 2Un-9
et après de la je comptait calculer le discriminant
et faire la dérivés et ainsi trouver les variations de la fonction
je suis en trin de le faire

a partir du trinome -2Un²+10Un -8 / 2Un-9
je calcule le discriminant qui vaut
delta= 36>0
il y a donc deux racines 4 et 1
D'ou le tableau suivant

...............-∞.........1..........4............ 9/2.........+∞
2x-9................. -.........+..........- ............+......
-2x²+10x -8...... - ....... + .........- ........... -......
Quotient .......... +......... - ........+............ -.....

A l'exterieur des racines la suite est positive donc croissante
Pour la convergence il faut faire comment ? ( les limites ?)

4.La suite (Vn) est définie pour tout entier n par
Vn = 1-Un

Demontrer que pour tout n Vn+1 < 1/7 Vn
Peut on utiliser
Vn+1 =1 - Un+1 ??
= 1 - (Un -8)/ (2Un-9)
= (2Un-9 - Un -8)/ (2Un-9)
= Un-17 / (2Un-9)

et ensuite je ny arive plus
je voudrais un avi sur le debu et si possible une piste
merci bocou