chiffres mystères



  • Bonjour ,

    Quelqu'un pourrait-il m'expliquer s'il y a une façon plus rapide de trouver la solution à ce problème :

    Trouvez deux nombres entiers sachant que leur produit est 32 928 et que leur PGCD est 28. MOi j'ai fais comme ceci :

    a×b = 32 928.
    Si je divise a par b , le reste non null est 28 ( selon l'algorythme d Euclyde). Ce qui veut dire que a est un multiple de 28 et b est également un multiple de 28.
    Cherchons tous les multiples de 28 :
    0,28,56,84...... J'ai été jusque 308 et ensuite j'ai cherché toutes les combinaisons de deux multiples de 28 qui donneraient 32 938 .
    Après un certain temps j'ai trouvé que le produit de 196 par 168 faisait effectivement 32 928 .
    Pour vérififier, j'ai calculé leur PGCD qui est bien de 28 .

    Mais, il doit certainement y avoir une méthode beaucoup plus rapide ...

    Merci de m'aider, A bientôt



  • Bonjour,

    Tu peux aussi utiliser la relation PGCD×PPCM=a×b
    ainsi que les méthodes de calcul du PGCD et du PPCM à l'aide de la décomposition en nombres premiers :

    • le PGCD est le produit des facteurs communs affectés de leur plus petit exposant
    • le PPCM est le produit des facteurs affectés de leur plus grand exposant.

    On te donne le PGCD et le produit, tu peux donc calculer le PPCM.
    Ensuite tu fais une décomposition en facteurs premiers du PGCD et du PPCM.
    Les facteurs premiers et les exposants de chacun te donnent les facteurs et les exposants des 2 nombres. Si je ne me trompe pas, tu peux ainsi obtenir toutes les possibilités de couples (a;b).



  • bonjour
    on peut aussi diviser 32928 par 28 au carré(784) ce qui donne 42=2x3x7.ensuite on a facilement les nombres cherchés.
    bon courage


 

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