Récurrence Ts

Bonjour,
soit x un réel
Pour tout entier naturel n>ou=1 on pose Cn=cosx+cos3x+....+cos(2n-1)x

1)exprimer sinacosb en fonction de sin (a+b) et sin (a-b)
cela fait (sin(a+b)+sin(a-b))/2

2)transformer en somme sinxcos(2n+1)x (sous entendu voir 1)
cela fait sin(2nx+2x)+sin(-2nx)+(-sin(2nx+2x)-sin(-2nx))/2
ou plus simple en faisant cette division (sin(2nx+2x)+sin(-2nx))/2
car diviser par 2 revient à enlever la moitié mais ceci est plus compliqué.

3)démontrer que pour tout entier naturel n>ou=1 et pour tout x différent de kPi (k € Z)
Cn=cosnx((sin nx)/(sinx))
et c'est la que ça se complique

Je pense qu'il faut initialiser avec n=1 puis montrer l'hérédité avec n+1 mais je ne sais pas trop comment faire. Merci de m'aider.

Bonjour vicoleboss.

et 2) semblent justes, n'est-ce pas.

Pour 3) :

a) La récurrence est fondée.

b) C(n+1)=cosx+cos3x+....+cos[(2n-1)x]+cos[(2n+1)x]
devient par hypothèse de récurrence
C(n+1)=cos(nx)sin(nx)/sinx + cos[(2n+1)x].

c) Mets au même dénominateur.

d) transforme chaque produit de sin et cos avec ce que tu as fait à la question 1).

e) Tu dois obtenir
sin[2(n+1)x] / (2sinx).

f) une formule de trigo classique permet enfin d'aboutir à
C(n+1)=sin[(n+1)x]cos[(n+1)x] / sinx,
ce qui montre l'hérédité, comme tu dis.

J'espère que ça ira.

merci je vais regarder
les 2 premiers sont justes enfin j'espere

une autre idée en plus de la reccurence sur N est de penser à la formule suivante :

cosX=(e^ix+e^-ix)/2 poser X=(2k-1)x puis ecrire

Cn=SOM(cos(2k-1)x)=1/2.SOM(e^i(2k-1)-e^i(2k-1)x) pour k compris entre 1 et n. (puis prendre la partie réelle du résultat)

il restera à caluler les sommes d'exponentielles , c'est pas difficile.

puis tu obtiendra par cette 2 ieme voie le resultat demandé, vu que la reccurence n'est pas formellement imposée dans l'exercice.

En fait tu peux faire plus simple pour la rédaction de la 2).
Il suffit de prendre les bons a et b dans
sina cosb = [sin(a+b) + sin(a-b)] / 2
pour avoir directement
sinxcos[(2n+1)x]
sous une forme plus commode.

Vicoleboss :
tu as un "message privé" ; clique sur le 1 à côté de ton pseudo dans la liste des membres en ligne, merci.

je nai pas vu de message privée
le e) je trouve sin x pour denominateur

Mets-toi en plein écran alors, et tu verras le "1", bien à droite de ton nom.
Pour le e), je maintiens ce que j'ai écrit : c'est la division par 2 dans la formule de sina cosb (sinon, tu auras un pb pour finir la récurrence).