Récurrence Ts


  • V

    Bonjour,
    soit x un réel
    Pour tout entier naturel n>ou=1 on pose Cn=cosx+cos3x+....+cos(2n-1)x

    1)exprimer sinacosb en fonction de sin (a+b) et sin (a-b)
    cela fait (sin(a+b)+sin(a-b))/2

    2)transformer en somme sinxcos(2n+1)x (sous entendu voir 1)
    cela fait sin(2nx+2x)+sin(-2nx)+(-sin(2nx+2x)-sin(-2nx))/2
    ou plus simple en faisant cette division (sin(2nx+2x)+sin(-2nx))/2
    car diviser par 2 revient à enlever la moitié mais ceci est plus compliqué.

    3)démontrer que pour tout entier naturel n>ou=1 et pour tout x différent de kPi (k € Z)
    Cn=cosnx((sin nx)/(sinx))
    et c'est la que ça se complique

    Je pense qu'il faut initialiser avec n=1 puis montrer l'hérédité avec n+1 mais je ne sais pas trop comment faire. Merci de m'aider.


  • Zauctore

    Bonjour vicoleboss.

    1. et 2) semblent justes, n'est-ce pas.

    Pour 3) :

    a) La récurrence est fondée.

    b) C(n+1)=cosx+cos3x+....+cos[(2n-1)x]+cos[(2n+1)x]
    devient par hypothèse de récurrence
    C(n+1)=cos(nx)sin(nx)/sinx + cos[(2n+1)x].

    c) Mets au même dénominateur.

    d) transforme chaque produit de sin et cos avec ce que tu as fait à la question 1).

    e) Tu dois obtenir
    sin[2(n+1)x] / (2sinx).

    f) une formule de trigo classique permet enfin d'aboutir à
    C(n+1)=sin[(n+1)x]cos[(n+1)x] / sinx,
    ce qui montre l'hérédité, comme tu dis.

    J'espère que ça ira.


  • V

    merci je vais regarder
    les 2 premiers sont justes enfin j'espere 😄


  • F

    une autre idée en plus de la reccurence sur N est de penser à la formule suivante :

    cosX=(e^ix+e^-ix)/2 poser X=(2k-1)x puis ecrire

    Cn=SOM(cos(2k-1)x)=1/2.SOM(e^i(2k-1)-e^i(2k-1)x) pour k compris entre 1 et n. (puis prendre la partie réelle du résultat)

    il restera à caluler les sommes d'exponentielles , c'est pas difficile.

    puis tu obtiendra par cette 2 ieme voie le resultat demandé, vu que la reccurence n'est pas formellement imposée dans l'exercice.


  • Zauctore

    En fait tu peux faire plus simple pour la rédaction de la 2).
    Il suffit de prendre les bons a et b dans
    sina cosb = [sin(a+b) + sin(a-b)] / 2
    pour avoir directement
    sinxcos[(2n+1)x]
    sous une forme plus commode.


  • Zauctore

    Vicoleboss :
    tu as un "message privé" ; clique sur le 1 à côté de ton pseudo dans la liste des membres en ligne, merci.


  • V

    je nai pas vu de message privée
    le e) je trouve sin x pour denominateur


  • Zauctore

    Mets-toi en plein écran alors, et tu verras le "1", bien à droite de ton nom.
    Pour le e), je maintiens ce que j'ai écrit : c'est la division par 2 dans la formule de sina cosb (sinon, tu auras un pb pour finir la récurrence).


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