Droites sécantes à l'infini


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    Salut.

    Une question me turlupine. J'ai souvent entendu mes profs au collège me dire que 2 droites parallèles se coupent à l'infini. Depuis je n'ai jamais réentendu cette affirmation.

    Aujourd'hui, si c'était possible, je souhaiterais que l'on m'explique pourquoi, en précisant bien sûr la géométrie utilisée, parce que l'affirmer c'est bien, mais le justifier c'est mieux.

    Merci d'avance ! 😄

    @+


  • Modérateurs

    Salut,

    Je crois que c'est une construction mentale (des maths quoi) plus qu'une géométrie particulière. Je vais essayer de te transmettre cette "vision" à travers quelques exemples.

    • Quand tu fais la limite du taux d'accroissement pour déterminer un nombre dérivé et que tu trouves l'infini, tu peux dire que la tangente admet un "coefficient directeur infini" (et donc qu'elle est verticale) même si cela ne veut rien dire.

    • Quand tu trouves une asymptote horizontale y=b à une fonction, tu peux dire que la valeur b est atteinte à l'infini, autrement dit jamais. De la même manière 2 droites qui se "coupent à l'infini" ne se coupent jamais.

    Ce n'est probablement pas très clair ce que je veux dire. Il s'agit simplement d'accepter une idée mathématique abstraite a priori inacceptable.

    C'est peut-être ce qu'a voulu vous transmettre votre prof de collège et il a dû être très content de tes yeux qui se sont arrondis 😉


  • Modérateurs

    Salut.

    Le problème c'est que dans les deux cas le taux ou la fonction "tend" vers cette valeur, donc pour ∀ε>0, etc. Bref c'est la définition de la convergence.

    Je vais prendre un exemple du même style pour illustrer mes droites parallèles.

    Soient les droites d'équations f(x)=0 et g(x)=1. Elles sont parallèles. Et pourtant tu ne peux pas dire que leur limite en l'infini sont égales. 😄

    Tu comprends pourquoi je ne peux pas accepter une simple vision de l'esprit. Disons que dans des géométries non euclidiennes je suis d'accord. L'univers par exemple n'est que localement euclidien, donc elles vont se couper, et pas besoin d'être à l'infini pour le remarquer. Alors qu'en géométrie euclidienne j'ai déjà plus de mal à le concevoir, et c'est pour cela que je poste la question.

    @+



  • Tu n'es pas le seul à te poser la question ! En cherchant su Google

    parallèle infini

    on trouve une tonne de réponses plus ou moins farelues dont celle-ci : http://www.univ...mmegeoeu.htm

    je n'ai pas tout lu !


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    Salut.

    Merci Zorro. Donc d'après ce texte à l'époque on a essayé de le montrer, mais n'y arrivant pas les géométries non euclidiennes sont nées (en résumant très grossièrement).

    @+


  • Modérateurs

    Jeet-chris

    Soient les droites d'équations y=0 et y=1. Elles sont parallèles. Et pourtant tu ne peux pas dire que leur limite en l'infini sont égales. 😄
    Je n'ai pas dit cela ! En fait je cherche, à travers divers exemples, à préciser la notion d'*infini *qui je crois est la clé du problème.

    Je vais essayer de donner une définition du parallélisme avec l'idée d'infini. (Avertissement : ce n'est qu'un définition intuitive by Thierry)
    Tu peux envisager 2 droites "presque parallèles" qui se coupent "loin".Tu peux te demander quelle est la position "limite" de deux droites telles que leur point d'intersection est de plus en plus loin, jusqu'à "atteindre" l'infini (sachant que si c'est l'infini, on ne l'atteint pas !).

    C'est pas un effort d'imagination guère plus grand que celui de comprendre comment une droite qui relie 2 points qui tendent à se confondre devient la tangente d'une courbe (cf le nombre dérivé).

    Je reste persuadé que ton prof de collège n'a rien dit qui sorte du domaine de la géométrie euclidienne. (Moi non plus je n'ai pas eu le courage d'aller jusqu'au bout du lien de zorro). Mais je peux me tromper ...


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    Salut.

    Je sais bien que la clé du problème est l'infini, il se passe toujours des choses étonnantes là-bas.

    Mais justement qu'empêcherait les droites au contraire de s'écarter à l'infini, comme des hyperboles ? On pourrait envisager différents cas, et pas seulement celui où elles se coupent.

    Soit elles se coupent en + et - l'infini, soit elles s'écartent à l'un et sont sécantes à l'autre, soit elles s'écartent aux deux.

    En fait je ne suis pas contre l'idée, mais je me demande pourquoi ce cas là plutôt qu'un autre. C'est pour cela qu'une simple vision ne me satisfait pas. Je m'en suis contenté jusqu'à aujourd'hui, et maintenant j'aimerais comprendre cela si tant est-il qu'une explication il y a, ce que ne semble pas indiquer le texte du lien qu'à fourni Zorro.

    Et encore ton exemple repose sur une convergence, dont j'ai accepté l'idée depuis longtemps. La grosse différence ici est : qu'est-ce qui empêcherait au contraire les droites de diverger. Par exemple si tu prends la fonction valeur absolue et bien ton taux ne converge pas vers la même valeur à gauche et à droite de 0. Relier les droites à l'infini c'est comme essayer de rendre continu la dérivée de la fonction valeur absolue, ce qui d'ailleurs est possible dans la théorie des distributions (généralisation des fonctions) si je ne me trompe pas, en rajoutant un échelon.

    En fait il faudrait déjà savoir si l'affirmation est vraie ou non avant d'essayer de trouver sa justification.

    @+


  • Modérateurs

    On peut imaginer tout ce que l'on veut. C'est un peu comme ça que l'on a construit les mathématiques à mon avis : de pures constructions mentales. Les maths ne reposent sur rien d'autre que sur l'esprit humain et la géométrie euclidienne sur celui qui l'a faite et que nous apprenons encore aujourd'hui car elle est un modèle de rigueur, et probablement aussi parce qu'elle permet d'avoir de nombreuses applications dans la vie de tous les jours.

    Maintenant que j'y pense, le coup des droites parallèles, je me demande si ce n'est pas un axiome d'Euclide ... je vais voir si je retrouve une source que j'avais lu.


  • Modérateurs

    J'ai retrouvé le très intéressant pdf que nous avait déniché Zauctore : au fil de l'histoire.
    La partie sur les éléments d'Euclide (qui commence p14) donne une définition des droites parallèles selon Euclide :
    Citation
    Les parallèles sont des droites, qui étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un coté ni de l'autre.
    Tu avais donc raison : dire que les droites parallèles se rencontrent à l'infini ne relève pas de la géométrie euclidienne. Je ne sais pas de quel modèle il retourne.

    Bon courage dans ta quête 😄


  • Modérateurs

    Salut.

    Je me rappelle l'avoir enregistré sur l'ordinateur le pdf. 😄

    En ce qui concerne la géométrie non euclidienne il n'y a pas de problème : ca ne me choque pas que des droites parallèles sont sécantes à l'infini.

    Par contre dans sa définition, Euclide avait-il conscience de l'infini tel qu'on le conçoit aujourd'hui ? Ou entend-il par infini simplement "très loin" ? Et dans ce cas le problème n'est pas forcément résolu. En tout cas, pour l'instant, pour moi, que ce soit à l'infini ou non, elles restent aussi éloignée l'une de l'autre vu que sinon on aurait des problèmes au niveau de nos convergences (l'espace affine étant compris dans l'espace euclidien, dire que la limite de 1 et celle de 0 sont égales à l'infini pose problème, puisque cela signifierait que là-bas 0=1=2=lR, et donc l'infini serait un point).

    Zauctore, où es-tu, on a besoin de toi ! 😁

    @+



  • Bonsoir
    Je crois que l'infini est une notion " philosophique "qui fait rêver.Dans l'univers "stellaire "on trouve bien peu de lignes vraiment droites. Conjecturer qu'elles se rencontrent est une forme d'optimisme très sympathique.
    Par ailleurs,dans de vieux livres on trouve pour la lemniscate d'équation
    (x²+y²)²-a²(x²-y²)=0
    cette remarque:"les points à l'infini sont imaginaires et de rebroussement ".
    la géométrie vue ainsi est alors quasiment poétique...


  • Modérateurs

    Jeet-chris > OK j'ai fini par comprendre la contradiction que tu soulevais. Je dirais que cela constitue une démonstration par l'absurde convaincante pour dire que 2 droites parallèles ne se coupent jamais.

    vaccin > non pas de droites droites, ni de point point ni de cercle parfait dans l'univers stellaire. Seulement dans l'univers mathématique ! C'est bien ce qui me plaît dans les maths : un ensemble parfaitement ordonné qui ne repose sur rien de réel : c'est reposant.


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