Nombres Complexes.



  • Bonjour.
    Je travaille sur des Annales de Bac,des épreuves Obligatoires.
    L'énoncé me dit :
    On considère l'equation z^3-(4+i)z²+(7+i)z-4=0 (E)

    1a)Montrer que l'equation (E) admet une solution réelle,notée Z1.
    1b)Déterminter a et b tel que z^3-(4+i)z²+(7+i)z-4=(z-Z1)(z-2-2i)(az+b)

    2)Résoudre l'équation (E).

    Alors je bloque déja a la 1ere question^^.
    J'présume que nous poser d'entrée une question de la sorte revient a nous faire trouver quelque chose ressemblant a une racine évidente?

    Si ce n'était pas le cas,j'ai essayé de développer en remplaçant z par (x+iy),sans succès.Par ailleurs je me demandais si je devais trouver une racine de la forme (x+iy) ?ou quelque chose d'autre?

    Pour ce qui est de la question 1b.les calculs sont déjas faits,les systèmes aussi,il me manque simplement Z1,d'ou ma demande ici.

    En vous remerciant par Avance de la lecture de ces écrits ...


  • Modérateurs

    Salut.

    1.a) On te demande l'existence d'une racine réelle (donc pas de la forme x+iy, mais juste x vu qu'elle est réelle 😄), donc tu peux essayer de mettre en facteur (zZ1(z-Z_1), et de voir si il n'y a pas de contradiction.

    Je m'explique. Tu peux essayer de trouver Z1Z_1, a, b et c tels que :

    z³-(4+i)z²+(7+i)z-4 = (zZ1(z-Z_1)(az²+bz+c)

    Si tu trouves au final que Z1Z_1 est réel, alors tu auras répondu à la question. 😄

    Je ne trouve pas plus simple pour l'instant.

    @+


  • Modérateurs

    Salut.

    Bon en fait il y a plus simple, et au moins on est sûr d'y arriver.

    On veut que la racine soit réelle. Mais alors comment faire disparaitre les "i" qui trainent dans l'équation pour obtenir 0 ? Et bien en posant z=1 car on aura du "i-i". En calculant on remarque que 1 est bien solution. 😄

    Désolé de t'avoir embarqué sur une piste foireuse.

    @+



  • Lol.
    Merci.ça me fait plaisir que tu aies trouvé z=1.
    J'tavoue que pendant 25 minutes j'ai fait pas mal de systèmes se ramenant tous a Z1= 7+i/3 ,ce qui ne m'arrangeait pas vraiment ^^
    Donc Merci beaucoup pour cette aide


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