Donner le reste d'une division euclidienne


  • P

    Soit mmm et nnn deux entier vérifiant <img style="vertical-align:middle;" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?0

    Soit rrr le reste de la division euclidienne de nnn par mmm.
    Montrer que 2r−12^r-12r1 est le reste de la division euclidienne de 2n−12^n-12n1 par 2m−12^m-12m1 .

    J'ai commencé en exprimant 2n2^n2n en fonction de 2m2^m2m et 2n2^n2n :

    2n=2m×2(m(k−1))×2r2^n=2^m\times2^(m(k-1))\times2^r2n=2m×2(m(k1))×2r ( k∈zk\in \mathbb{z}kz)

    donc 2n2m=2(m(k−1))×2r\frac{2^n}{2^m}=2^(m(k-1))\times 2^r2m2n=2(m(k1))×2r

    puis je ne sais pas comment introduire le "-1" pour arriver a un résultat du type :
    2n−12m−1=k′(2m−1)+2r\frac{2^n-1}{2^m-1}=k'(2^m-1)+2^r2m12n1=k(2m1)+2r (k′∈zk'\in \mathbb{z}kz)

    Quelqu'un pourrait me guider un peu? Merci beaucoup!!


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