Exercice sur les nombres complexes



  • Bonjour à tous.
    J'ai un exercice sur les nombres complexes qui me pose quelques soucis.

    Le voici :

    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal.
    On considère la suite depoints (Mn) n € N et la suite des afffixes (Zn) n € N définie par :
    z0 = 8 et, pour tout n de N, z n+1 = (1 + i√3) / 4 × zn

    1. Calculer le module et un argument du nombre complexe (1 + i √3) / 4. L'écrire sous forme triogonométrique.
    2. Calculer z1, z2, z3 et vérifier que z3 est réel. Placer dans le plan les points M0, M1, M2 et M3.
    3. Pour tout entier naturel n,
      a) Calculer le rapport (z n+1 - zn) / z n+1
      b) En déduire que le triangle 0MnMn+1 est rectangle et que |z n+1 - zn| = racine de 3 × |z n+1|

    Alors, voila mes réponses abrégés :

    1. (1 + i √3)/4 = 1/2 (cos pi/3 + i sin pi/3)
    2. z1 = 2 + 2i √3
      z2 = -1 + √ 3i
      z3 = -1 (réel pur)
    3. a) (z n+1 - zn) / z n+1 = 1-3/(i √3 + 1)
      b) ???

    La 3 me pose quelques soucis.
    Merci à tous ceux qui viendront à mon secours!



  • Bonjour ,
    Ne fais tu pas un lien entre le rapport (zn+1(z_{n+1} - zzn)/(z</em>n+1)/(z</em>{n+1}) et un certain angle du triangle OMOMnM</em>n+1M</em>{n+1} ??
    Mais je crois aussi que tu t'es trompée dans le calcul de ce rapport ce qui ne te facilite pas la tache.



  • Ah oui, en fait, j'y avais pensé mais le résultat de mon rapport était effectivement faux donc...je ne trouvais rien de bien cohérent...
    Merci beaucoup.
    Maintenant, il me reste à montrer que |z n+1 - zn| = √3 × |z n+1| .
    A première vue, je ne vois pas trop, je réfléchie et je reviens si je ne trouve pas.



  • Zoombinis, c'est encore moi!

    Bon alors, pour cette dernière question, j'ai fais :

    | z (n+1) - z(n)| = √3 * |z(n+1)|
    | ((1+ √3i)/4) -1 )*z(n)| = √3 *|((1+ √3i )/4)*z(n)|
    |(- 3 + √3i ) /4 | = √3 * | (√3 + 3i)/4|
    |- 3 + √3i | = |√3 + 3i |
    √12 = √12

    En partant de l'équation de départ, j'ai remplacé, j'ai simplifié et je pense avoir montré que les deux membres étaient bien égaux mais... le problème, c'est que la question était posée ainsi :
    b) En déduire que le triangle 0MnMn+1 est rectangle et que |z n+1 - zn| = racine de 3 × |z n+1|
    Donc...il me semble qu'il fallait déduire la réponse de la question précédente à savoir, du calcul du rapport...
    Je ne pense donc pas que la démonstration que j'ai faite soit celle attendue. Qu'en pensez vous?
    Si ce n'est pas bon, pourriez-vous me donner un petit tuyau?
    Merci encore et encore et encore et encore!
    Et bonne nuit, à 23h52, les maths, on va arrêter là!



  • Bonjour,
    Ton calcul est juste étant donné que tu raisonnes par equivalence on a aucun reproche à te faire mais c'est vrai que c'est un peu tordu vis à vis de là question.
    En fait on te demander " d'en déduire " , donc du calcul du rapport tu dois trouver (je l'ai fait et ça tombe juste) n'oublis pas si 2 nombres complexes sont égaux alors leur modules sont égaux.



  • bon ok alors je laisse comme j'ai fait parce que jvois pas trop comment utiliser mon rapport... j'espère que ça passera.
    merci pour tout en tous cas.



  • Non attend c'est dommage normalemet au rapport tu trouves :

    (zn+1(z_{n+1} - znz_n) / zn+1z_{n+1} = i√(3)
    zn+1z_{n+1} - znz_n = zn+1z_{n+1}i√(3)

    ⇒|zn+1z_{n+1} - znz_n| = |zn+1z_{n+1}i√(3)|



  • je vois..

    et est-ce que je peux rajouter:

    (zn+1 - zn) / zn+1 = i√(3)
    zn+1 - zn = zn+1i√(3)
    |zn+1 - zn| = |zn+1i√(3)|
    |zn+1 - zn| = |i√(3)| × |zn+1|
    |zn+1 - zn| = √(3) |zn+1|

    sachant que nulle part dans mon cours c'est explicitement écrit que |z×z'| = |z| × |z'|?


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