Problèmes trois inconnues

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire 3 exercices de mon DM :

Un triangle a trois côtés de longueurs a, b et c telles que :
a² + b² +c² = ab + bc + ca.
Démontrer que le triangle est équilatéral.
=>J'ai essayé de factoriser, mais je suis toujours bloqué.
Soit a, b et c trois entiers impairs. Montrer que l'équation ax² + bx + c = 0 n'a pas de solution rationnelle.
=> Je suis parti du principe qu'un nombre impair s'écrit 2n-1. J'ai ensuite essayé de calculé le discriminant, mais je suis bloqué : je ne vois pas comment on peut déterminer s'il y a des solutions et si elles sont rationnelles.
Trouver trois entiers naturels non nuls a, b et c tels que :
abc + ab + bc + ac + a+ b+ c = 1000.
=> J'ai tenté de factoriser, mais je suis bloqué et je ne vois pas comment résoudre l'équation.

Pourriez-vous m'aider ?

Merci par avance.

Salut.

Hum... comment dire ? Essaie de montrer que cette équation peut se ramener sous la forme (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0. La suite ne devrait pas être trop difficile ensuite.
Tu es bien parti pourtant, normalement tu devrais trouver que Δ est négatif.
J'ai une idée, mais un peu compliquée à mon gout. Il doit y avoir plus simple.

@+

Merci pour la réponse.

Pour arriver à cette expression, il faut multiplier par 2, c'est bien ça ?
Citation
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
Une fois là, on dit donc que la somme de plusieurs carrés ne peut être nulle que si a-b=0, b-c=0 et c-a=0 ... Ok.
Là, je vois pas ... J'ai beau faire le calcul, je ne trouve pas.

Oui tu multiplies par 2
mais a,b,c doivent être égaux non ? parce que si je prends
x² + 51x + 3 = 0 elle a bien des solutions rationnelles