Temps de parcours minimal.



  • Bonjour, voici un exercice, qui me pose problème:

    http://i21.servimg.com/u/f21/10/06/63/69/sans_t10.jpg

    Le gardien d'un phare (situé en A) doit rejoindre le plus rapidement possible la maison côtière (située en B). Il doit se déplacer d'abord sur l'eau (de A à M) en canot à la vitesse moyenne de 4 km/h puis à pied sur la terre ferme (de M à B) à la vitesse moyenne de 5 km/h.

    On cherche à répondre à la question suivante: "Où doit-il accoster pour que le temps de parcours soit minimal?"

    Dans la suite, on pose MH=x (en km).

    1/ Montrer que le problème revient à déterminer le minimum sur l'intervalle [0;15] de la fonction f définie par f(x)=1/4 racine carré de (x²+81}+1/5(15-x).
    2/ Déterminer les variations de f sur [0;15].
    3/ Conclure.

    Ce que je ne comprends pas, dans cet exercice, c'est "le problème revient à déterminer le minimum sur l'intervalle [0;15] de la fonction f " et étudier le signe de la dérivée.

    Toute contribution est la bienvenue et je vous en remercie.



  • Tcho,

    1. vitesse = distance/temps.
      ⇒ v1 = 4km/h = AM / t1(x).
      v2 = 5km/h = MB / t2(x).
      t(x) = t1(x) + t2(x) le temps parcouru pour aller de A à B.
      x=MH varie entre 0 et 15 et donc MB vaut 15-x.
      AM = sqrt(9^2+x^2) par pythagore. [sqrt=square root=racine carrée]
      ⇒t(x) = t1(x) + t2(x) = AM/4 + MB/5 = sqrt(9^2+x^2)/4 + (15-x)/5.

    2. La dérivée de sqrt(U(x)) est U'(x)/[2*sqrt(U(x))].
      Dérive, met au même dénominateur puis élève au carré le numérateur. Tu devrais arriver à un résultat.



  • Je vous remercie pour vos précieux conseils.


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