Etude de la croissance, convergence et limite d'une suite

Bonsoir,

Voila, j'ai un dm à faire et je galère à fond... Si vous avez un p'tit tuyau j'suis pas contre...

La suite $u_n$ ) est définie par $u_0$ =-3 et pour tout entier n : $u_{n+1}$ = $(u$ _n $8)/(2u_n$ -9)

1.a. Représenter graphiquement la fonction f(x)= (x-8)/(2x-9) pour tout réel avec x différent de 9/2.

1.b Utilisé cette représentation graphique pour conjecturer sur le comportement de la suite $u_n$ ).

Démontrer par récurrence que pour tout n, $u_n$ <1.
Démontrer que la suite $u_n$ ) est croissante et qu'elle converge.
La suite $v_n$ ) est définie pour tout entier n par : vn=1-un.
Démontrer que, pour tout n : $v_{n+1}$ < $1/7)v_n$
En déduire la limite de $v_n$ ).
Quelle est la limite de la suite $u_n$ ) ??
Trouvez un entier N tel que, pour tout n>N, $u_n$ >0.99

Donc, pour la représentation, y a pas de problème évidement ! Pareil pour la conjecture !

Pour la question 2

J'admets donc le résultat pour $u_0$ , puis j'essaye de le prouvé pour $u_{n+1}$ en partant de $u_n$ <1.

Pour cela j'étudie la fonction f, j'établis son tableau de variation et je trouve une fonction croissante mais pas définie en (9/2)...

Pour moi, ça ne colle pas du tout... mais j'ai revu plusieurs fois mes calculs, et je ne trouve pas ou ça cloche...

Pour la question 3.

Je fait $u$ _{n+1} $u_n$ et je tombe sur $2u_n$ ² $+ 10 u$ _n $8)/(2u_n$ -9)...
Je ne peut alors pas connaitre le signe de ce truc... et donc je ne peux pas conclure sur la convergence de $u_n$ )

Et pour la question 4

Je n'ai absolument aucune idée de la façon dont je doit m'y prendre. J'ai essayé la récurrence, mais ça ne donne rien de correct... Encore une fois, si vous avez un tuyau a me passer, je suis preneur...

Donc voilà, je m'en remet à vous et à votre savoir...

Merci d'avance à ceux qui me répondrons.

Edit de J-C : ajout des balises d'indice.

Salut.

Tu admets le résultat pour $u_0$ ? Tu voulais dire pour $u_n$ je suppose, vu qu'il faut le constater pour $u_0$ .

Est-ce étonnant que f ne soit pas définie en 9/2 ?

Je trouve que tout colle parfaitement pour ma part. Tes résultats sont corrects.

Personnellement je partirais de $u_n$ <1 pour montrer que $(u$ _n $8)/(2u_n$ -9)<1 (attention au signe de $2u_n$ -9 durant le calcul).

Je démarre la question pour que tu comprennes bien.

$u_n$ <1 ⇒ $u_n$ -9<-8

A toi.

Et si je te rappelais que le produit de 2 nombres de même signe est positif ?
Ben tu prouves que $v$ _{n+1} $v_n$ <1/7 tout simplement $v_n$ étant positif l'inégalité ne change pas de sens). Donc remplaces tout ça par une expression qui ne dépend que de $u_n$ et déduis-en tes conclusions.

@+