Suites



  • Bonsoir,

    Voila, j'ai un dm à faire et je galère à fond... Si vous avez un p'tit tuyau j'suis pas contre...

    La suite (un(u_n) est définie par u0u_0=-3 et pour tout entier n : un+1u_{n+1} = (u(u_n8)/(2un-8)/(2u_n-9)

    1.a. Représenter graphiquement la fonction f(x)= (x-8)/(2x-9) pour tout réel avec x différent de 9/2.

    1.b Utilisé cette représentation graphique pour conjecturer sur le comportement de la suite (un(u_n).

    1. Démontrer par récurrence que pour tout n, unu_n<1.
    1. Démontrer que la suite (un(u_n) est croissante et qu'elle converge.
    1. La suite (vn(v_n) est définie pour tout entier n par : vn=1-un.
      Démontrer que, pour tout n : vn+1v_{n+1}<(1/7)vn(1/7)v_n
      En déduire la limite de (vn(v_n).
    1. Quelle est la limite de la suite (un(u_n) ??
    1. Trouvez un entier N tel que, pour tout n>N, unu_n>0.99

    Donc, pour la représentation, y a pas de problème évidement ! Pareil pour la conjecture !

    Pour la question 2

    J'admets donc le résultat pour u0u_0, puis j'essaye de le prouvé pour un+1u_{n+1} en partant de unu_n<1.

    Pour cela j'étudie la fonction f, j'établis son tableau de variation et je trouve une fonction croissante mais pas définie en (9/2)...

    Pour moi, ça ne colle pas du tout... mais j'ai revu plusieurs fois mes calculs, et je ne trouve pas ou ça cloche...

    Pour la question 3.

    Je fait uu_{n+1}un-u_n et je tombe sur (2un(-2u_n²+10u+10u_n8)/(2un-8)/(2u_n-9)...
    Je ne peut alors pas connaitre le signe de ce truc... et donc je ne peux pas conclure sur la convergence de (un(u_n)

    Et pour la question 4

    Je n'ai absolument aucune idée de la façon dont je doit m'y prendre. J'ai essayé la récurrence, mais ça ne donne rien de correct... Encore une fois, si vous avez un tuyau a me passer, je suis preneur...

    Donc voilà, je m'en remet à vous et à votre savoir...

    Merci d'avance à ceux qui me répondrons.

    Edit de J-C : ajout des balises d'indice.


  • Modérateurs

    Salut.

    1. Tu admets le résultat pour u0u_0 ? Tu voulais dire pour unu_n je suppose, vu qu'il faut le constater pour u0u_0.

    Est-ce étonnant que f ne soit pas définie en 9/2 ?

    Je trouve que tout colle parfaitement pour ma part. Tes résultats sont corrects.

    Personnellement je partirais de unu_n<1 pour montrer que (u(u_n8)/(2un-8)/(2u_n-9)<1 (attention au signe de 2un2u_n-9 durant le calcul).

    Je démarre la question pour que tu comprennes bien. 😄

    unu_n<1 ⇒ unu_n-9<-8

    A toi.

    1. Et si je te rappelais que le produit de 2 nombres de même signe est positif ?

    2. Ben tu prouves que vv_{n+1}/vn/v_n<1/7 tout simplement (vn(v_n étant positif l'inégalité ne change pas de sens). Donc remplaces tout ça par une expression qui ne dépend que de unu_n et déduis-en tes conclusions.

    @+


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