Exercice : Exponentielle (pour demain)



  • Voila j'ai de petits problèmes pour faire cet exercice :

    Enoncé :

    Etudier la continuité et la dérivabilité en zéro des fonctions suivantes et interpréter graphiquement.

    1. f définie sur [0 ; +∞[ par $\left{ {f(x) = e^{-\frac 1 x} \text{ si x different de 0 } \ f(0) = 0 } \right.$

    2. g définie sur [0 ; +∞[ par $\left{ {g(x) = xe^{-\frac 1 x} \text{ si x different de 0 } \ g(0) = 0 } \right.$

    3. h définie sur r{r} par $\left{ {h(x) = \frac{x^2}{e^x -1}} \text{ si x different de 0 } \ h(0) = 0 \right.$

    Alors voila ce que j'ai trouvé :

    1. limx0f(x)=0 car limx01x=+\lim _{x \rightarrow 0}f(x) =0 \text{ car }\lim _{x \rightarrow 0}\frac 1 x={+} \infty

    limx+f(x)=1 car limx+1x=0\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x) =1 \text{ car }\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac 1 x=0

    La courbe admet donc une asymptote d'équation y = 1

    f'(x) = e1/x-e^{-1/x} ?

    je bloque un peu la surtout que j'ai pas tout compris ce qu'il fallais faire...

    Merci d'avance !

    modif : problème d'affichage



  • Demat,

    1. Ta limite me parait bonne.
      Sinon :
      (exp(U(x)))'=U'(x)exp(U(x)).
      Donc : f'(x)=f(x)/x^2.
      En fait, ce n'est pas trop ça qui t'es demandé : exp(-1/x) est une fonction infiniment dérivable pour x>0, donc continue pour x>0.
      La question porte en fait ici sur la "jointure" entre f(0) imposé égal à 0 et la limite de f quand x tend vers 0+. Si cette limite est égale à f(0) (ce qui est le cas) alors c'est continue.

    Ar c'hentan'vo !



  • ok je vais voir ça je poste ma réponse ce soir !!! merci beaucoup !!!



  • Alors pour la 1) ça donne :

    limx0+f(x)=0\lim _{x \rightarrow 0{+}}f(x) = 0

    Car

    limx0+1x=+\lim _{x \rightarrow 0{+}} \frac{1}{x} = {+} \infty

    Comme on à en prérequis f(0) = 0,
    on peut en conclure que

    limx0+f(x)=f(0)\lim _{x \rightarrow 0{+}}f(x) = f(0)

    donc que la fonction f est continue à droite de zéro.

    sur [0 ; +∞[, la fonction f est dérivable :

    f'(x) = e1xx2\frac{e^-\frac{1}{x}}{x^2}

    or la fonction exponentielle est toujours positive : exp(X) > 0, en posant X=-1/x

    la fonction f étant dérivable sur [0 ; +∞[, elle est continue sur ce meme intervalle.

    Mais pour la dérivabilité en zéro j'arrive pas...



  • En 0 tu peux revenir à la défintion de la dérivée et montrer que c'est fini :
    f'(x)=lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h en x=0. Tu arrive facilement à montrer que c'est <∞.
    (Utilise la limite : lim(x→+∞) xexp(-x)=0 )


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