Equation fonctionnelle, équation différentielle [T°S]



  • Bonjour,

    J'ai un problème sur mon DM de math et ça serait pour savoir si quelqu'un pourrait m'aider
    Voici le sujet :

    scan supprimé (cf notre règlement)

    J'ai fait quelques questions, il ne me reste plus que le II.2.a (1ere partie => montrer que g est dérivable), le II.3. b et c et le III

    Ma premiere question est comment je peux montrer (dans le II) que g est dérivable, car si je fais comme dans mon cours ça me donne un truc un peu barbare dont je n'arrive pas à me débrouiller...

    MErci d'avance



  • Demat,

    Pour montrer g dérivable il faut que tu montre que x→f(x+a) et x→f(-x) sont dérivables ce qui est le cas puisque f l'est. Leur multiplication est par conséquent dérivable.

    Pour la II.3.b, f(x)*f(-x)=1.
    Si il existe x tel que f(x)=0, bah f(x)*f(-x)=0 et pas 1 donc c'est tout.

    Dis moi ce qui va pas pour la trois.



  • euh... Pour le III. je n'arrive pas à la 2 et pour une question est ce que 1/f(x) =f(-x) ??? Si oui je n'arrive pas qu'au III.2. Sinon je ne vois pas comment faire le II.3.c. et le III. 3... MErci d'avance ^^



  • "Si il existe x tel que f(x)=0, bah f(x)*f(-x)=0 et pas 1 donc c'est tout."

    C'était un raisonnement par l'absurde : ça montre que f(x)≠0 ∀x.
    On pourrait se dire que si f(x)=0, f(-x) serait égal à -∞. Ce qui ne peut être car la fonction f est dérivable sur R.
    Après pour le III, f2(-x)=1/f2(x).
    Donc g(x)=f1(x)/f2(x). Tu dérives cette fraction et tu as au numérateur :
    kf1(x)f2(x)-kf2(x)f1(x)=0 → la dérivée est égale à 0 donc la fonction est constante et vu que g(0)=1 tu as le résultat.

    Allez bon courage

    Kenavo!



  • euh... Pourquoi on a kf1(x)f2(x)-kf2(x)f1(x)=0 (c'est le =0 que je ne comprends pas...) ??? Et je ne vois pas non plus pour quelle question... :$ Moi je bloque à la III.2.

    J'ai calculé la dérivée de g(x) et j'avais trouver kf1(x)f2(-x) +kf2(-x)f1(x) et je ne vois pas comment en déduire que, pour tout réel x : g(x)=1

    Le reste j'ai compris est reussi, mon seule doute etait que l'égalité 1/f(x)=f(-x) soit fausse... ce qui m'empechait de répondre à des questions...



  • Salut,

    Je te rédige clair :

    II.3.b) f étant dérivable, f(x) est fini et donc f(-x) aussi.
    On fait un raisonnement par l'absurde, en supposant que ∃x tq f(x)=0,
    Vu que f(-x) est fini, on aurait f(x)*f(-x)=0.
    Or la question d'avant montre que ∀x, f(x)f(-x)=1≠0. On arrive donc à une contradiction.
    Notre hypothèse de départ (∃x tq f(x)=0) est donc fausse et on conclu que ∀x, f(x)≠0.

    III.2)
    g(x)=f1(x)f2(-x)=f1(x)/f2(x). Donc g'(x)=[f'1(x)f2(x)-f'2(x)f1(x)]/(f2(x)^2) [Formule de dérivation]
    Et donc ça s'annule puisque f'1(x)f2(x)-f'2(x)f1(x)=kf1(x)f2(x)-kf2(x)f1(x)=0
    Donc g'(x)=0 ce qui implique que g(x)=Cste ∀x.
    Comme g(0)=1 et g(x)=Cste ∀x, g(x)=1 ∀x

    Voilà, j'espère avoir été plus clair


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