Equation fonctionnelle, équation différentielle [T°S]

Bonjour,

J'ai un problème sur mon DM de math et ça serait pour savoir si quelqu'un pourrait m'aider
Voici le sujet :

scan supprimé (cf notre règlement)

J'ai fait quelques questions, il ne me reste plus que le II.2.a (1ere partie => montrer que g est dérivable), le II.3. b et c et le III

Ma premiere question est comment je peux montrer (dans le II) que g est dérivable, car si je fais comme dans mon cours ça me donne un truc un peu barbare dont je n'arrive pas à me débrouiller...

MErci d'avance

Demat,

Pour montrer g dérivable il faut que tu montre que x→f(x+a) et x→f(-x) sont dérivables ce qui est le cas puisque f l'est. Leur multiplication est par conséquent dérivable.

Pour la II.3.b, f(x)*f(-x)=1.
Si il existe x tel que f(x)=0, bah f(x)*f(-x)=0 et pas 1 donc c'est tout.

Dis moi ce qui va pas pour la trois.

euh... Pour le III. je n'arrive pas à la 2 et pour une question est ce que 1/f(x) =f(-x) ??? Si oui je n'arrive pas qu'au III.2. Sinon je ne vois pas comment faire le II.3.c. et le III. 3... MErci d'avance ^^

"Si il existe x tel que f(x)=0, bah f(x)*f(-x)=0 et pas 1 donc c'est tout."

C'était un raisonnement par l'absurde : ça montre que f(x)≠0 ∀x.
On pourrait se dire que si f(x)=0, f(-x) serait égal à -∞. Ce qui ne peut être car la fonction f est dérivable sur R.
Après pour le III, f2(-x)=1/f2(x).
Donc g(x)=f1(x)/f2(x). Tu dérives cette fraction et tu as au numérateur :
kf1(x)f2(x)-kf2(x)f1(x)=0 → la dérivée est égale à 0 donc la fonction est constante et vu que g(0)=1 tu as le résultat.

Allez bon courage

Kenavo!

euh... Pourquoi on a kf1(x)f2(x)-kf2(x)f1(x)=0 (c'est le =0 que je ne comprends pas...) ??? Et je ne vois pas non plus pour quelle question... :$ Moi je bloque à la III.2.

J'ai calculé la dérivée de g(x) et j'avais trouver kf1(x)f2(-x) +kf2(-x)f1(x) et je ne vois pas comment en déduire que, pour tout réel x : g(x)=1

Le reste j'ai compris est reussi, mon seule doute etait que l'égalité 1/f(x)=f(-x) soit fausse... ce qui m'empechait de répondre à des questions...

Salut,

Je te rédige clair :

II.3.b) f étant dérivable, f(x) est fini et donc f(-x) aussi.
On fait un raisonnement par l'absurde, en supposant que ∃x tq f(x)=0,
Vu que f(-x) est fini, on aurait f(x)*f(-x)=0.
Or la question d'avant montre que ∀x, f(x)f(-x)=1≠0. On arrive donc à une contradiction.
Notre hypothèse de départ (∃x tq f(x)=0) est donc fausse et on conclu que ∀x, f(x)≠0.

III.2)
g(x)=f1(x)f2(-x)=f1(x)/f2(x). Donc g'(x)=[f'1(x)f2(x)-f'2(x)f1(x)]/(f2(x)^2) [Formule de dérivation]
Et donc ça s'annule puisque f'1(x)f2(x)-f'2(x)f1(x)=kf1(x)f2(x)-kf2(x)f1(x)=0
Donc g'(x)=0 ce qui implique que g(x)=Cste ∀x.
Comme g(0)=1 et g(x)=Cste ∀x, g(x)=1 ∀x

Voilà, j'espère avoir été plus clair