Pas de piste pour ce problème merci de votre aide

[Emeline]

Je n'arrive à débuter ce problème, par contre j'ai dans l'idée qu'il s'agit du théorème des gendarmes ? Merci à toute personne qui pourrait de mettre sur la piste !

Soit b un nombre réel strictement positif

1. Exprimer en fonction de b un nombre A1 tel que pour tout nombre réel x strictement positif supérieur à A1 on ait 1/x < b

2. Exprimer en fonction de b un nombre A2 tel que pour tout nombre réel x strictement positif supérieur à A2 on ait 1/(2x + 1) < b

3. Soit f une fonction définie sur R*+ telle que pour tout x de R*+ on ait -1/(2x + 1) <= f(x) <= 1/x

a) Proposer un nombre réel A, à exprimer en focntion de b, tel que pour tout nombre réel x positif supérieur ou égal à A on ait f(x) appartient à l'intervalle ouvert -b ; b

b) Quelle propriété de la fonction f est démontrée à la question a)

c) Proposer une autre justification de cette propriété de la fonction f à l'aide d'un théorème figurant au programme de Terminale S. On énoncera ce théorème avec précision.

[Zauctore]

Bonjour Emeline.

Pour débuter (c'est-à-dire faire la question 1 ?), voici :

1/x < b equiv/ x > 1/b (propriété de l'inverse).

En posant $A_1$ = 1/b ...

La question 2) me semble de la même veine.

Je te laisse le soin de nous en dire davantage pour commenter la suite.

A +

[Zauctore]

A la question 2), tu as

1/(2x + 1) < b equiv/ 2x + 1 > 1/b equiv/ x > ...

d'ou $A_2$ , non ?

[Emeline]

en posant A1=1/b

on trouve x > A1

donc A1 = 1/b

Suis-je sur la bonne voie ?

[Emeline]

Donc A2 = (1 - b) / 2b

[Zauctore]

Voilà. Continue.

[Emeline]

J'ai beau tourner le problème dans tou les sens, je n'arrive pas à faire le lien entre la question 3) et les questions 1) et 2)

[Zauctore]

Si jamais ma réponse ne vient pas trop tard...

On sait que les valeurs de f(x) sont à la fois inférieures à 1/x et supérieures à -1/(2x+1) (je pense que tu as inversé les relations d'ordre).

Alors -b < f(x) < b aura lieu à condition que
-b < -1/(2x+1) et que 1/x < b (simultanément).

Il me semble que maintenant, on voit un lien avec les questions 1) et 2).

Si x > $A_1$ et si x > $A_2$ , alors l'encadrement entre b et -b pour f(x) aura lieu.

Ceci montre que si x est supérieur à mla plus grande des valeurs $A_1$ et $A_2$ , alors -b < f(x) < b.

Ceci, pour toute valeur de b >0 : cela signifie que la fonction f a pour limite 0 lorsque x tend vers + inf/ .

La question 4) est une simple application du théorème que tu as mentionné à 16:56.

Désolé d'avoir tant tardé à revenir sur le site.

[Emeline]

Merci beaucoup pour ton aide ...