Espaces Vectoriels, Applications lineaires



  • Bonjour,
    J'ai un exercice sur les applications lineaires et j'ai besoin d'aide.
    Considerons l'application suivante:
    L: $R[X]_{≤2}$ → R³ : P(X) → L(P(X)) = (P(1), P(a), ½ (-1∫1 P(t)dt))
    ( a = parametre different de 1; -1∫1 = integrale de -1 a 1)
    Je voudrais juste savoir quelle est cette application? que represente l'espace d'arrivee (en quoi transforme t on le polynome? quelle est la dimension de l'espace d'arrivee?la dimension de l'espace de depart?donner une base de l'espace d'arrivee)...
    De plus, je n'arrive pas a prouver que L est lineaire...

    Merci


  • Modérateurs

    Salut Rappaccione,
    L'ensemble de départ est l'ensemble des polynômes de degré inférieur où égal à 2, tu dois en connaître la dimension, non?
    L'ensemble d'arrivée est $$mathbb{R}$^3$ c'est-à-dire l'ensemble des triplets de réels (tu peux voir ça aussi comme l'ensemble des vecteurs de l'espace, ce qui peux t'aider à trouver une base), là aussi c'est de dimension connue normalement. Quant à montrer qu'elle est linéaire, calcule L(λP(x)+μQ(x)) et essaie de voir si tu peux pas montrer que ça vaut λL(P(x))+μL(Q(x))... Si tu bloques à un endroit dis-nous exactement où, que l'on puisse t'aider plus efficacement.



  • Merci pour ta reponse raycage 🙂



  • raycage
    Salut Rappaccione,
    L'ensemble de départ est l'ensemble des polynômes de degré inférieur où égal à 2, tu dois en connaître la dimension, non?
    L'ensemble d'arrivée est $$mathbb{R}$^3$ c'est-à-dire l'ensemble des triplets de réels (tu peux voir ça aussi comme l'ensemble des vecteurs de l'espace, ce qui peux t'aider à trouver une base), là aussi c'est de dimension connue normalement. Quant à montrer qu'elle est linéaire, calcule L(λP(x)+μQ(x)) et essaie de voir si tu peux pas montrer que ça vaut λL(P(x))+μL(Q(x))... Si tu bloques à un endroit dis-nous exactement où, que l'on puisse t'aider plus efficacement.

    Bonjour,
    j'ai réussi à démontrer que l'application est linéaire. Mais il y a un autre point qui me pose problème: c'est de déterminer les espaces Im L et Ker L...
    Pour trouver le Ker L, je pense qu'il faut faire: P(X) ∈ Ker L equivaut a dire : L(P(X)) = (0,0,0) Donc P(1) = 0, P(a)=0 , 1/2(-1∫1 P(t).dt = 0)... mais ca ma l'air completement faux! et je n'ai pas de pistes concernant l'espace Im L!
    Pouvez vous m'aider?


  • Modérateurs

    Pour kerL c'est bien ça qu'il faut faire. Pour l'image attend d'avoir le résultat du noyau ça devrait pouvoir t'aider.


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