1ère s – Etude de fonctions - Montrer que Cf et Cg sont symétriques par rapport à la dte y=x

[Iron]

Bonjour à toutes et à tous,

Le contexte :
F(x) = x² + 2x
G(x) = -1 + √(1+x)

Questions 1 à 3 :
Ens de déf etc … On arrive à montrer que :
Fog(x) = x et que gof(x)=(x)
On trace les courbes Cg et Cf .
Jusque là, tout va bien, mais

Dernière question : On se limite à R+
Soit Delta la droite d’éq y=x

Montrer que Cg et Cf sont symétriques par rapport à Delta
Sur le graphique, c’est visible mais comment le démontrer ?

La fin de l’exo précise le commentaire : On dit que f et g sont réciproques

Le cours explique les axes de symétrie du type x=cste (fonctions paires après avoir fait un chgt de repère) et du type y=cste (f(x) = -g(x)) mais rien pour les axes de symétrie qui ne sont pas // aux axes du repère !

Merci pour votre aide,
Laurent (le papa qui séche en voulant aider sa fille dans le cadre de révisions)

(Je me suis trompé de niveau. Mais apparemment, je ne peux plus déplacer ce sujet en 1èreS. Désolé)

[vaccin]

salut
la symétrie par rapport à y=x se traduit ainsi
on intervertit x et y
l'équation donnée devient
x = y²+2y
soit
y²+2y-x=0
on résout l'équation du second degré en y et on doit retomber sur l'autre fonction. ce qui est le cas ici .
@+

[Iron]

Bonjour,

la symétrie par rapport à y=x se traduit ainsi
on intervertit x et y
l'équation donnée devient
x = y²+2y

Je poursuis donc :

y²Ûx=0
<-- bizarre , impossible d'écrire l'équation normalement, mais en ajoutant des espaces, ça passe : y² + 2 y - x = 0 ! )

équation du second degré en y avec Δ=4+4x=4(1+x) >0 dans R+

√Δ = 2√(1+x)

Solutions : y=(-2+2√(1+x)) / 2 (on rejette l’autre racine car on travaille dans R+)

On simplifie : y=-1+$sqrt$1+x) ce qui correspond effectivement à la fonction g

Je n’aurais jamais pensé à ça.
Merci beaucoup pour cette réponse rapide, Laurent