Nombres complexes



  • Bonjour à tous.

    Il y a une question de mon DM sur le nombre complexes qui me posent problème.

    Alors :
    On note M' l'image par r du point M d'affixe z. On note z' l'affixe de M'. Les parties réelle et imaginaire de z sont notées x et y, celles de z' sont notées x' et y'. On note H' l'ensemble des points du plan dont l'antécédent par r est un point de H (sachant que dans les questions précédentes on avait H, l'ensemble des points M du plan complexe d'affixe z qui vérifient z²-4 = 4 - [(conjugé de)z]²).
    a) Exprimer x et y en fonction de x' et y'.
    b) Prouver que M' appartient à H' SSI y'y' = -2 (sachant qu'on a vu que M appartient à H SSI x² - y² =4).

    Bon c'est surtout la a qui me pose problème, bien que, sans avoir son résultat je n'ai pas pu attaquer la b) mais je pense savoir comment m'y prendre...

    Pour la a, au brouillon j'ai fait :
    z' - z0 = ei/4.(z - z0)
    z' = z.ei/4
    z' = (2/2 - i2/2) . z

    or z = x + iy et z' = x' + iy'

    donc x' + iy' = (2/2 - i2/2) (x+iy)

    Mais après, je ne vois pas trop, meme en s'implifiant... je ne sais même pas si c'est comme ça qu'il fallait s'y prendre!

    A l'aide SVP!
    Merci



  • Salut,

    Je vois pas c'est quelle fonction la fonction r?
    Merci de l'expliciter,



  • ah oui, désolée!
    r c'est la rotation de centre 0 et d'angle -pi/4.
    d'ailleurs, je m'apercois que j'ai oublié les pi en écrivant mes e.
    ce n'est pas e-i/4 mais e-ipipi/4



  • Ok ok,

    Alors ça me paraît correct, faut juste que tu simplifie (rappel i^2=-1) puis tu as une partie réelle et une partie imaginaire qui correspondent à x' et y' respectivement.

    Après, x^2+y^2=4 c'est l'équation du cercle de centre 0 et rayon 2. r est une rotation autour de 0. Donc si M vérifie cette équation, c'est qu'il appartient au cercle et donc en tournant autour du centre, M' appartient aussi au cercle : x'^2+y'^2=4. Comme tu as calculé x' et y' dans la question précédente tu n'as qu'à les remplacer.

    Bon courage



  • Oups,

    Je viens de voir que c'est x^2-y^2=4 donc c'est une hyperbole. Exprime plutôt x et y en fonction de x' et y' et remplace dans cette équation, tu dois trouver ton résultat.



  • Citation
    Alors ça me paraît correct, faut juste que tu simplifie (rappel i^2=-1) puis tu as une partie réelle et une partie imaginaire qui correspondent à x' et y' respectivement.

    Mais j'avais simplifié mais j'obtiens :

    x' + iy' = (√2/2 - i√2/2) (x+iy)
    x' + iy' = √2x / 2 + √2iy/2 - i√2x/2 + √2y/2
    Je factorise puis j'obtiens
    x' + iy' = [√2x + √2y / 2] (1 +i)

    mais là, je n'ai pas vraiment x et y en fonction de x' et y'..
    j'ai plus x' et iy' en fonction de ...



  • Ok, ok,

    Alors :
    x'+iy'=√2x / 2 + √2iy/2 - i√2x/2 + √2y/2=(√2x / 2 + √2y/2) +i (-√2x/2+√2y/2 )
    D'où :
    x'=√2x / 2 + √2y/2
    y'=-√2x/2+√2y/2
    Il faut distinguer la partie réelle de l'affixe et sa partie imaginaire.
    Après il faut que tu exprime x et y en fonction de x' et y' et que tu remplaces dans l'équation de l'hyperbole.

    Allez, courage, j'espère que t'y arriveras parce que je dois y aller

    Kenavo!



  • oki merci!


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