Sujet Lyon 2 1977



  • Salut à tous!!

    Voici le sujet, que j'ai à faire en DM:

    1. Soit x un entier relatif. Déterminer le reste de la division euclidienne de x³ par 9, en discutant suivant les valeurs de x.

    En déduire que, pour tout entier relatif x, on a :

    x³ ≡ 9 (mod 9) <------> x ≡ 0 (mod 3)

    x³ ≡ 1 (mod 9) <------> x ≡ 1 (mod 3)

    x³ ≡ 8 (mod 9) <------> x ≡ 2 (mod 3)

    1. On considère trois entiers relatifs x, y et z tels que x³ + y³ + z³ soit divisible par 9. Démontrer que l'un des nombres x, y et z
      est divisible par 3.

    Et voici mes réponses, je voudrais avoir un avis pour savoir si ces réponses sont justes et surtout si vous pourriez m'aider pour la 2) 😄 :

    1. Lorsqu'on divise n'importe quel x par 9 on a 9 restes possibles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
      J'étudis cas par cas:
      -si x ≡ 0 (9) donc x³ ≡ 0 (9)
      -si x ≡ 1 (9) donc x³ ≡ 1 (9)
      -si x ≡ 2 (9) donc x³ ≡ 8 (9)
      -si x ≡ 3 (9) donc x³ ≡ 0 (9)
      -si x ≡ 4 (9) donc x³ ≡ 1 (9)
      -si x ≡ 5 (9) donc x³ ≡ 8 (9)
      -si x ≡ 6 (9) donc x³ ≡ 0 (9)
      -si x ≡ 7 (9) donc x³ ≡ 1 (9)
      -si x ≡ 8 (9) donc x³ ≡ 8 (9)

    On remarque que les restes 0, 1, 8 reviennent pour x³ par 9 donc:
    x³ ≡ 0 (9) <=> x ≡ 0 (3)
    x³ ≡ 1 (9) <=> x ≡ 1 (3)
    x³ ≡ 8 (9) <=> x ≡ 2 (3)

    1. Si x³+y³+z³ ≡ 0 (9)
      alors x³ ≡ -y³-z³ (9)
      donc -si x³ ≡ 0 (9) <=> x ≡ 0 (3)
      donc l'un des nombres est divisible par 3

    et à partir de la je bloque 😞
    J'espere vous pourrez m'aider, à Bientôt!!



  • bonjour
    pour la 2 :
    on a : x³+y³+z³≡0 (mod 9)
    d'après le 1 les seules possibilités sont
    0+1+8
    0+0+0
    continue en revenant modulo 3
    @+


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