Sujet Lyon 2 1977

[megagat]

Salut à tous!!

Voici le sujet, que j'ai à faire en DM:

1. Soit x un entier relatif. Déterminer le reste de la division euclidienne de x³ par 9, en discutant suivant les valeurs de x.

En déduire que, pour tout entier relatif x, on a :

x³ ≡ 9 (mod 9) <------> x ≡ 0 (mod 3)

x³ ≡ 1 (mod 9) <------> x ≡ 1 (mod 3)

x³ ≡ 8 (mod 9) <------> x ≡ 2 (mod 3)

2. On considère trois entiers relatifs x, y et z tels que x³ + y³ + z³ soit divisible par 9. Démontrer que l'un des nombres x, y et z
   est divisible par 3.

Et voici mes réponses, je voudrais avoir un avis pour savoir si ces réponses sont justes et surtout si vous pourriez m'aider pour la 2) :

1. Lorsqu'on divise n'importe quel x par 9 on a 9 restes possibles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
   J'étudis cas par cas:
   -si x ≡ 0 (9) donc x³ ≡ 0 (9)
   -si x ≡ 1 (9) donc x³ ≡ 1 (9)
   -si x ≡ 2 (9) donc x³ ≡ 8 (9)
   -si x ≡ 3 (9) donc x³ ≡ 0 (9)
   -si x ≡ 4 (9) donc x³ ≡ 1 (9)
   -si x ≡ 5 (9) donc x³ ≡ 8 (9)
   -si x ≡ 6 (9) donc x³ ≡ 0 (9)
   -si x ≡ 7 (9) donc x³ ≡ 1 (9)
   -si x ≡ 8 (9) donc x³ ≡ 8 (9)

On remarque que les restes 0, 1, 8 reviennent pour x³ par 9 donc:
x³ ≡ 0 (9) <=> x ≡ 0 (3)
x³ ≡ 1 (9) <=> x ≡ 1 (3)
x³ ≡ 8 (9) <=> x ≡ 2 (3)

2. Si x³+y³+z³ ≡ 0 (9)
   alors x³ ≡ -y³-z³ (9)
   donc -si x³ ≡ 0 (9) <=> x ≡ 0 (3)
   donc l'un des nombres est divisible par 3

et à partir de la je bloque
J'espere vous pourrez m'aider, à Bientôt!!

[vaccin]

bonjour
pour la 2 :
on a : x³+y³+z³≡0 (mod 9)
d'après le 1 les seules possibilités sont
0+1+8
0+0+0
continue en revenant modulo 3
@+