Récurrence



  • Bonjour à tous j'aurai besoin d'aide pour un devoir dont je n'arrive pas à faire la deuxième question.

    On considère la suite (Un) avec n appartient à N définie par:

    U0=1
    Un+1=Un+2n-1 (si n supérieur ou égal à 0)

    conjecturer une expression de Un en fonction de n, pour tout entier naturel n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

    Démontrer ne me pose pas de problème mais je n'arrive pas à conjecturer, si quelqu'un pouvait mexpliquer comment faire, comment je dois procéder se serait sympa.



  • Salut Méli.
    Conjecturer... consiste à induire un résultat général à partir d'une série de résultats particuliers.
    Ici, commence par calculer les valeurs des premiers termes de cette suite. Jusque n=10, par exemple.
    Tu observeras attentivement ces résultats, puis tu essaieras d'imaginer quelle peut bien être la loi de formation de UnU_n à partir de n.
    Il faut chercher un lien entre l'indice n et la valeur de UnU_n
    (Genre : "astuce numérique", si l'on peut dire).
    Essaie de trouver seule, c'est formateur comme démarche !
    Bonne chance



  • Ben c'est ce que j'avais fait seulement pour U0 je trouve 1 pour U1 je trouve 0 pour U2 je retrouve 1 et ensuite ca augmente de façon irrégulière et donc je ne trouve pas ca logique.



  • Non : on doit trouver

    U0U_0 = 1,
    U1U_1 = 2,
    U2U_2 = 5,
    U3U_3 = 10,
    U4U_4 = 17,
    U5U_5 = 26,
    etc...

    Dis-moi si tu es d'accord avec ça.

    Attention :
    calcule effectivement avec UnU_n + 2n-1 pour former Un+1U_{n+1} !

    L'augmentation est irrégulière... cette suite n'est pas arithmétique.
    Elle n'est pas géométrique non plus. Il faut chercher autre chose...



  • Non, je ne comprends pas comment vs faites pour trouver U1=2 😞

    moi je trouve 0 puisque en faite on fait U0+1=U0(qui est égal à 1)+2*0-1et donc ca fait 0



  • Oui, non, pardon : j'ai fait le travail en lisant trop vite la relation de récurrence, en anticipant sur une suite qui peut être attendue ici.
    Deux questions :

    1. es-tu sûre de ton énoncé ?
    2. est-ce bien 0 le premier indice ?
      SI c'est le cas, la suite commence par
      U0U_0 = 1,
      U1U_1 = 0,
      U2U_2 = 1,
      U3U_3 = 4,
      U4U_4 = 9,
      U5U_5 = 16,
      etc...
      On est d'accord, là ?
      La suite des nombres obtenus est connue, non ? Elle est plus simple que celle que j'avais en tête.
      Reste à l'exprimer en fonction de l'indice n à chaque fois.


  • 1)oui je suis sure de l'énoncé
    2)oui c'est bien U0

    j'y comprends rien lol

    aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah je crois avoir trouver

    Un=(n-1)au carré????



  • OUI ! BRAVO !

    C'est super cette sensation, hein ?



  • lol oui !! C'était simple en fait!! En tout cas tu m'as bien aidé et jai compris comment procéder pour la conjecture merci !!

    (une dernière question purement technique comment tu fais sur ordinateur pour que l'indice soit en dessous du U ?? lol)

    bonne nuit!!



  • Je tape U puis le bouton "indice" là en-dessous, et aussitôt "fin d'indice". Ensuite, je mets entre les codes ce que je veux voir en indice. Ensuite, faut laisser un espace après le > de fin d'indice.
    A + Méli.



  • pour trouver Un en fonction de n , tu peux ecrire que:

    SOM(Uk+1)=SOM(Uk)+SOM(2k-1) pour k compris entre 0 et n

    soit (U1+U2+...Un+1)=(Uo+U1+U2+....Un)+2.SOM(k)-SOM(1) pour k compris entre 0 et n

    SOM(k) vaut n(n+1)/2 donc 2SOM(k) vaut n(n+1)/2.
    SOM(1) vaut n+1 car il y a (n+1) termes entre 0 et n.

    si bien qu'en simplifiant tout cela , il vient:

    Un+1=Uo+n(n+1)-(n+1)

    soit Un+1=Uo+n²-1, comme Uo=1

    alors Un+1=n² ou si tu preféres ; Un=(n-1)². verifications faites!



  • les valeurs données par Zauctor sont inexactes:
    U0 = 1,
    U1 = 0,
    U2 = 1,
    U3 = 4,
    U4 = 9,
    U5 = 16,!!!

    j'obtiens :U1=Uo+2.0-1=Uo-1 en posant n=0
    puis U2=U1+2.1-1=U1+1=Uo en posant n=1
    U3=U2+2.2-1=U2+3=Uo+3 en posant n=2.

    et ainsi de suite



  • pardon! je voulais dire exact! les valeur fournies par Zauctore sont exacts .



  • Sois indulgent, flight ! ou bien va au bout des posts.

    Remarque : tes notations avec SOM sont un peu difficiles à lire, notamment pour des débutants de term.



  • et flight! dans une copie tu doit marquer SOM ou som()



  • tu dois utiliser le symbole de sommation : sigma ; som(k)


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