trouver des nombres entiers naturels



  • Alors je vous explique mon petit soucis, je n'arrive pas a donner des réponses à cet exercice!
    Après avoir réfléchis longement deçu , j'ai demandé de l'aide à mon entourage personne n'a pu me répondre alors j'aurais espéré que vous internautes vous m'aidiez 😄

    Voici le fameux exercice:

    Trouver tous les entiers naturels n tels que n^4 + 4 soit premier.

    CONSEIL: écrire n^4 + 4 comme différence des carrés des deux nombres, l'un de ces nombres étan n^2 + 2.

    En espérant une réponse de votre part...bye 😄





  • Salut.

    Déjà, comprends bien ce que l'on attend de toi :
    il faut que tu trouves a et b tels que
    n^4 + 4 = a² - b².

    Or l'indication t'incite à calculer
    (n²+2)². Tu l'as fait ? c'est ensuite facile de trouver a et b...
    puis de factoriser.

    Enfin, réfléchis à ce qu'est un nombre premier.

    C'est un exercice "sérieux" en Seconde.

    A +



  • merci de votre reponse mais je voulais savoir
    a = n^4 et b = 4
    puis
    a = n^2 et b = 2

    C'est ça??





  • Ah non : fais gaffe en développant !
    On a
    (n² + 2)² = n^4 + 4n² + 4,
    donc
    n^4 + 4 = (n² + 2)² - 4n².
    C'est la différence de deux carrés : a² - b².
    Et ainsi
    a = (n²+2) et b = 2n.



  • n^4+4: (n²+2)² - 4n²

    Il faut factoriser cette expression c'est ça?





  • (n²+2)(n^4 -n²)
    moi je trouve ça
    est que c'est juste?





  • Ben non,luce... c'est avec a² - b² = (a - b)(a + b).
    Ici, cela donne
    n^4 + 4 = (n² + 2)² - 4n² = [(n²+2) - 2n] [(n²+2) + 2n]
    etc.



  • je ne comprends plus rien !!! 😕
    Meme ma copine bloque alors qu'elle est super doué en maths, pourriez vous me
    donner la suite du calcul en expliquant bien s'il vous plait .... :frowning2:





  • ok...

    êtes-vous d'accord avec ce que j'ai écrit, déjà :

    n^4 + 4 = (n² + 2)² - 4n² = [(n²+2) - 2n] [(n²+2) + 2n]



  • oui nous sommes d'accord

    est que c'est ça ??

    (n^2+2)-2n : n^4 +4
    et (n^2+2)+2n : n^4 +4





  • Comprends pas tes ":".
    En fait, continuant le calcul, j'obtiens
    x^4 + 4 = (n² + 2n +2)(n² - 2n + 2).



  • n^2 +2n+2 = n^4+4 et n^2-2n+2= n^4+4 et bien cela si non qu'est ce ?





  • Vous êtes déjà dans l'histoire de nombre premier ?
    si c'est le cas, ok, vous avez bon.
    Reste à trouver n.



  • Bon si n^4 + 4 est premier, alors soit
    n^4 + 4 = n² + 2n + 2 soit n^4 + 4 = n² - 2n + 2.
    c'est-à-dire en fait n² - 2n + 2 = 1 pour la 1re ou bien n² + 2n + 2 = 1 pour la seconde. Il reste à résoudre.



  • je trouve cela: n^4+4 = n^2+2n+2 ça fait ensuite n^2+2n=-2 mais la je suis coincé ! comment faire? pour l'autre ça fait cela: n^4+4= n^2-2n+2 ça fait n^2-2n =-2 Là aussi je suis coincé !aidez moi je m'en sors plus là ! merci davance
    😄





  • Vois ce que j'ai marqué à 11:23.
    Tu es conduite à résoudre n² + 2n + 1 = 0 et n² - 2n +1 = 0.



  • pourquoi il faut avoir n^2+2n+1=0 alors qu'avant vous nous avez dit que n^2+2n+2=1? Je ne comprends plus trop là !





  • enlève 1 à chaque membre, cela te donne une équation équivalente, plus simple.



  • ok, je comprend pourquoi!!Mais après je n'arrive pas à resoudre les équation??
    komen faire!!
    C'est ça qui bloque!
    aidez moi a les résoudre ça serait très émable de votre part!
    merci d'avances





  • svp





  • svp répondez vite!!si possible!





  • excuse : fallait que je sorte mon chien.

    alors x² + 2x + 1 = 0 equiv/ (x + 1)² =0 equiv/ x = -1
    et pareil pour x² - 2x + 1 = 0 equiv/ x = 1.

    C'est bon ?



  • Alors, si tu devais formuler un "théorème, à la fin de cet exercice, que dirais-tu ? car il faut quand en retenir quelque chose !



  • ok, c'est bon donc il y a que 1 et -1 qui puisse entrere dans l'équation n^4+4
    pour que ce resultat soit un nombre premier!C'est fini alors??





  • ba je ne sais pas, il faut juste en retenir que seulmen 1 et -1 peuvent etre admis dans n^4+4 pour que ce résultat soit un nombre premier!!C'est bien ça??Si c'est pa ça je ne vois pas su tous ce que sa peut etre!expliquez moi svp!!
    merci bocoup de m'avoir aider!j'aurai jamis reussi toute seule





  • C'est ça ! je dirai, pour ma part :

    "le nombre n^4 + 4 n'est premier que si n = 1 ou n = -1".

    Il me semble avoir lu quelque part que ce résultat est dû à Sophie Germain (dans un contexte un peu (!) plus large).



  • Je suis en train d etous revoir pour comprendre, mais je ne vois pas pourquoi on passe de ça :(n² + 2)² = n^4 + 4n² + 4,
    à ça: n^4 + 4 = (n² + 2)² - 4n².
    D'où il vient le 4n^2
    repondez vite svp





  • developpe comme ça tu pourras trouver la ligne de au dessus
    le 4n² vien donc de (n²+2)²=n^4+4n²+4
    donc si tu veux retrouver n^4+2 il faut enlever 4n²
    voilà



  • C'est le double produit qui sort du développement de (n²+2)². On le chage de membre dans l'identité
    (n² + 2)² = n^4 + 4n² + 4.
    (en fait on retranche 4n² des deux côtés pour récupérer de l'info sur n^4 + 4.).



  • et les resultats sont faux!!1 et -1 sa marche pa, sa donne un nombre ki n'est pas premier
    Pourez tu me faire le détails de tous cette exos en m'expliquant bien stp!jte donne mon adresse e amil, c'est sassimarine@yahoo.fr!En ésperant que tu repondra vite!!
    merci bocoup, c'est très important pour moi!Je suis plus, j'avais comrpis mais là, jcompren plus rien!ça serait très aimable de ta part!!merci dacvance
    lucie et marine




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