Trouver des nombres entiers naturels vérifiant des contraintes

Alors je vous explique mon petit soucis, je n'arrive pas a donner des réponses à cet exercice!
Après avoir réfléchis longement deçu , j'ai demandé de l'aide à mon entourage personne n'a pu me répondre alors j'aurais espéré que vous internautes vous m'aidiez

Voici le fameux exercice:

Trouver tous les entiers naturels n tels que n^4 + 4 soit premier.

CONSEIL: écrire n^4 + 4 comme différence des carrés des deux nombres, l'un de ces nombres étan n^2 + 2.

En espérant une réponse de votre part...bye

Salut.

Déjà, comprends bien ce que l'on attend de toi :
il faut que tu trouves a et b tels que
n^4 + 4 = a² - b².

Or l'indication t'incite à calculer
(n²+2)². Tu l'as fait ? c'est ensuite facile de trouver a et b...
puis de factoriser.

Enfin, réfléchis à ce qu'est un nombre premier.

C'est un exercice "sérieux" en Seconde.

A +

merci de votre reponse mais je voulais savoir
a = n^4 et b = 4
puis
a = n^2 et b = 2

C'est ça??

Ah non : fais gaffe en développant !
On a
(n² + 2)² = n^4 + 4n² + 4,
donc
n^4 + 4 = (n² + 2)² - 4n².
C'est la différence de deux carrés : a² - b².
Et ainsi
a = (n²+2) et b = 2n.

n^4+4: (n²+2)² - 4n²

Il faut factoriser cette expression c'est ça?

(n²+2)(n^4 -n²)
moi je trouve ça
est que c'est juste?

Ben non,luce... c'est avec a² - b² = (a - b)(a + b).
Ici, cela donne
n^4 + 4 = (n² + 2)² - 4n² = [(n²+2) - 2n] [(n²+2) + 2n]
etc.

je ne comprends plus rien !!!
Meme ma copine bloque alors qu'elle est super doué en maths, pourriez vous me
donner la suite du calcul en expliquant bien s'il vous plait .... :frowning2:

ok...

êtes-vous d'accord avec ce que j'ai écrit, déjà :

n^4 + 4 = (n² + 2)² - 4n² = [(n²+2) - 2n] [(n²+2) + 2n]

oui nous sommes d'accord

est que c'est ça ??

(n^2+2)-2n : n^4 +4
et (n^2+2)+2n : n^4 +4

Comprends pas tes ":".
En fait, continuant le calcul, j'obtiens
x^4 + 4 = (n² + 2n +2)(n² - 2n + 2).

n^2 +2n+2 = n^4+4 et n^2-2n+2= n^4+4 et bien cela si non qu'est ce ?

Vous êtes déjà dans l'histoire de nombre premier ?
si c'est le cas, ok, vous avez bon.
Reste à trouver n.

Bon si n^4 + 4 est premier, alors soit
n^4 + 4 = n² + 2n + 2 soit n^4 + 4 = n² - 2n + 2.
c'est-à-dire en fait n² - 2n + 2 = 1 pour la 1re ou bien n² + 2n + 2 = 1 pour la seconde. Il reste à résoudre.

je trouve cela: n^4+4 = n^2+2n+2 ça fait ensuite n^2+2n=-2 mais la je suis coincé ! comment faire? pour l'autre ça fait cela: n^4+4= n^2-2n+2 ça fait n^2-2n =-2 Là aussi je suis coincé !aidez moi je m'en sors plus là ! merci davance

Vois ce que j'ai marqué à 11:23.
Tu es conduite à résoudre n² + 2n + 1 = 0 et n² - 2n +1 = 0.

pourquoi il faut avoir n^2+2n+1=0 alors qu'avant vous nous avez dit que n^2+2n+2=1? Je ne comprends plus trop là !

enlève 1 à chaque membre, cela te donne une équation équivalente, plus simple.

ok, je comprend pourquoi!!Mais après je n'arrive pas à resoudre les équation??
komen faire!!
C'est ça qui bloque!
aidez moi a les résoudre ça serait très émable de votre part!
merci d'avances

svp

svp répondez vite!!si possible!

excuse : fallait que je sorte mon chien.

alors x² + 2x + 1 = 0 equiv/ (x + 1)² =0 equiv/ x = -1
et pareil pour x² - 2x + 1 = 0 equiv/ x = 1.

C'est bon ?

Alors, si tu devais formuler un "théorème, à la fin de cet exercice, que dirais-tu ? car il faut quand en retenir quelque chose !

ok, c'est bon donc il y a que 1 et -1 qui puisse entrere dans l'équation n^4+4
pour que ce resultat soit un nombre premier!C'est fini alors??

ba je ne sais pas, il faut juste en retenir que seulmen 1 et -1 peuvent etre admis dans n^4+4 pour que ce résultat soit un nombre premier!!C'est bien ça??Si c'est pa ça je ne vois pas su tous ce que sa peut etre!expliquez moi svp!!
merci bocoup de m'avoir aider!j'aurai jamis reussi toute seule

C'est ça ! je dirai, pour ma part :

"le nombre n^4 + 4 n'est premier que si n = 1 ou n = -1".

Il me semble avoir lu quelque part que ce résultat est dû à Sophie Germain (dans un contexte un peu (!) plus large).

Je suis en train d etous revoir pour comprendre, mais je ne vois pas pourquoi on passe de ça :(n² + 2)² = n^4 + 4n² + 4,
à ça: n^4 + 4 = (n² + 2)² - 4n².
D'où il vient le 4n^2
repondez vite svp

developpe comme ça tu pourras trouver la ligne de au dessus
le 4n² vien donc de (n²+2)²=n^4+4n²+4
donc si tu veux retrouver n^4+2 il faut enlever 4n²
voilà

C'est le double produit qui sort du développement de (n²+2)². On le chage de membre dans l'identité
(n² + 2)² = n^4 + 4n² + 4.
(en fait on retranche 4n² des deux côtés pour récupérer de l'info sur n^4 + 4.).

et les resultats sont faux!!1 et -1 sa marche pa, sa donne un nombre ki n'est pas premier
Pourez tu me faire le détails de tous cette exos en m'expliquant bien stp!jte donne mon adresse e amil, c'est sassimarine@yahoo.fr!En ésperant que tu repondra vite!!
merci bocoup, c'est très important pour moi!Je suis plus, j'avais comrpis mais là, jcompren plus rien!ça serait très aimable de ta part!!merci dacvance
lucie et marine

Pour n=1, on a 1^4+4 = 5 qui est premier.
De même pour n=-1, (-1)^2+4 = 5.

Reprenez tout ça calmement.

j'ai ton e-mail yahoo.
"vite", pour moi ce sera pas avant cette nuit, parce que là, je pars bosser un peu et ensuite j'ai 80 copies à me farcir...

ba tpe lfaire ce soir, sa me derange pa!!ce soir sa serait parfais
et merci bosoup pour ton aide
jaten ton mail avec impatiance
marine

marine c'est quoi que tu as pas compris?
si tu reprend tout le raisonnement fait avec Zauctore tu arriveras au resultat!
voilà si jamais tu as besoin d'autres informations ej reste à peu prés toute l'aprés midi

je necompren pas comment tu es passé de n^4+4=n^2+2+2n à n^2-2n+2=1, si on passe le 4 de l'autre coté sa fé -4+2 soit -2 et si le -2 on le repasse de lotre coté sa fais 2, mais d'où il sor le 1??
et puis aussi comment etes vous passé de n^2+2n+1= 0 à 1!!J'aimerai savoir le calcul détailler pour comprendre!sinon j'ai compri!
merci de repondre vite!
vous etes fort aimable!

Re-salut, lucehappy.

Va voir ta boîte yahoo : je t'ai envoyé le pdf promis.
Etudie-le attentivement avant de me demander des précisions.
J'espère que tu n'auras pas besoin de le faire.

Bonne soirée à toutes les deux.

attends, j'ai toujours pas compris comment tu es passé de n^4+4=n^2+2-2n à n^2+2+2n=1
parce que moi si je le fais ça fait sa, regarde:
n^4+4=n^2+2-2n
n^4-n^2+4-2=-2n
n^2+2=-2n
n^2+2+2n=0
pourquoi tu as trouver égale 1?moi je trouve égale 0!!
essaye de repondre vite car je fais lexercice au propre!
merci bocoup sinon

Tu es bien matinale !

C'est une histoire de nombre premier ; un nombre premier p ne peut pas avoir d'autre diviseurs que 1 et p.

Par exemple, 7 ne peut se décomposer que sous la forme 7= 7*1.

Or, on a montré en factorisant, que
n^4 + 4 = (n^2-2n+2)(n^2+2n+2).

Ce qui veut dire que chaque nombre
n^2-2n+2 ou n^2+2n+2
est un diviseur de n^4+4.

On ne s'occupe plus de la puissance 4 ici, sinon les équations sont un peu compliquées ! En plus tu fais une assez grave erreur d'algèbre en "regroupant la puissance 4 et la puissance 2", ce qui est illicite.

Puisqu'on veut que ce nombre soit premier, alors les seules possibilités sont
n^2-2n+2 =1 ou n^2+2n+2 =1.

On résout ensuite ces équations en factorisant à vue.

Salut.

Merci pour l'exercice, nous avons compris maintenant, on a juste un petit truc à vous demander: p=n(n+1)(n+2)(n+3) avec n appartient a aux nombres naturels! on pose a=(n+1)(n+2)
il nous demande d'exprimer p en fonction de a!!
Qu' est ce que cela veut dire??
Et ensuite on nous demande d'en déduire que p+1 est un carré parfait!
Ca serait très sympa de repondre vite!
merci d'avance!

Salut.

Je suis content d'avoir pu vous aider.

En développant a = (n+1)(n+2) = n² + 3n + 2, et n(n+1) = n² + 3n, on voit que n(n+1) = a - 2.

Alors, p = a(a - 2). J'ai tout presque fait, parce que ce ne sont pas des manipluations si faciles que ça en Seconde.

Puis p + 1 = a(a - 2) + 1 = (...)², développez puis factorisez à l'aide d'une identité remarquable.

A + les filles.

A la 4e ligne de mon texte précédent, il faut lire n(n**+3**) = a -2...

J'oubliais aussi cela !
Ne pas négliger de faire quelques essais numériques :
avec n=5, on obtient p+1=567*8+1=1681, et on a 41²=1681.