Théorème de Gauss et équation diophantienne (spé)

[Carine13]

Bonjour,

j'ai un exercie de spé non corrigé qui me pose problème et j'ai DS demain alors...j'ai besoin d'un peu d'aide.

x et y désignent des entiers relatifs.
(E) est l'équation 8x - 5y =7.

1. Vérifier que le couple (x0, y0) = (9, 13) est solution de (E).
2. Démontrer qu'un couple (x, y) est solution de (E) SSI 8(x-x0) = 5 (y-y0).
3. En déduire toutes les solutions de (E).
4. En utilisatn la question précédente, déterminer tous les entiers relatifs x tels que 8x soit congru à 7 modulo 5.

Mes réponses :

1. 8×9 -5×13 = 7 donc (x0, y0) = (9, 13) est solution de (E).
2. 8 (x, x0) = 5 (y, y0)
   8x - 8x0 = 5y - 5y0
   8x - 72 = 5y - 65
   8x - 5y = 7
   8 (x, x0) = 5 (y, y0) équivaut à (E) donc un couple (x, y) est solution de (E) SSI 8(x-x0) = 5 (y-y0).

Après, je ne sais pas ce qu'il faut faire, je n'ai pas compris la méthode...
SVP, aidez moi!
Merci

[MouToN]

si $8(x-x_0)=5(y-y_0)$ alors $5|8(x-x_0)$.
or 5 est premier avec 8, donc d'après le théorème de Gauss .....

[Carine13]

merci