identités



  • j'ai un exercice où on me demande de demontrer par symetrie que
    2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a²+b²+c²)
    voilà je sais que c'est juste car en remplacant c par -(a+b) on trouve ça mais on me dit bien par symétrie!
    merci de votre aide



  • Par symétrie... hum.
    tu peux préciser le contexte ?



  • par exemple si a+b+c=0
    alors a²+b²+c²=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)



  • oups c (a+b+c)²-2(ab+bc+ca)



  • En effet.

    Mais ceci est parfaitement général :

    (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.

    Je ne vois pas pourquoi introduire la contrainte

    a + b + c = 0.



  • moi aussi je ne vois pas pourquoi on l'a juste introduis avant

    si ça peut vous aider avant on doi demontrer que a^3+b^3+c^3=3abc
    et (a²+b²+c²)²=2(a^4+b^4+c^4)

    voilà tout ce que j'ai



  • bon je relance le sujet si jamais quelqu'un à une idée!je prends!
    merci



  • bon alors j'abandonne le fait que quelqu'un y arrive
    pas rave je demanderais à quelqu'un d'autre merci a bientôt



  • Hello titor.
    J'ai trouvé de quoi t'intéresser :

    Soit E = {a , b , c} et F = {u , v , w}
    pour a > b > c et u > v > w
    alors au + bv + cw est la somme maximale des triplets de produits ef + e'f' + e"f", où e, e', e" app/ E et f, f', f" app/ F.
    C'est parfois appelé "l'inégalité de réordonnement".
    Remarque : la somme minimale est aw + bv + cu.

    Fais des essais numériques pour t'en convaincre.

    Avec ça tu dois arriver à prouver que
    a^3 + b^3 + c^3 >= 3 abc.



  • merci beaucoup
    je suis tout à fait d'accord avec ce théorème seulement il me reste à trouver comme l'appliquer ici et dans d'autres cas mais en tout cas merci beaucoup car je connaissais vraiment pas!



  • Je l'avais complétement oublié (comment peut-on oublier un truc aussi percutant ?).

    Pour l'appliquer à la somme des trois cubes, tu peux supposer pour commencer que a > b > c > 0.
    Ensuite, écris
    a^3 + b^3 + c^3 = aa² + bb² + cc²
    et ceci commence à ressembler à un problème de réordonnement, avec a² > b² > c² sous l'hypothèse faite sur les signes et l'ordre.

    Il faudrait aussi donner une vraie preuve de ce théorème, ainsi que sa forme la plus générale possible.



  • d'accord je commence vraiment à mieux comprendre c'est vrai qu'il est vraiment interessant ce théorème, il offre de trés grandes possibilités



  • Est-ce que
    a4a^4 + b4b^4 + c4c^4 + d4d^4 >= 4 abcd
    ?


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