identités

j'ai un exercice où on me demande de demontrer par symetrie que
2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a²+b²+c²)
voilà je sais que c'est juste car en remplacant c par -(a+b) on trouve ça mais on me dit bien par symétrie!
merci de votre aide

Par symétrie... hum.
tu peux préciser le contexte ?

par exemple si a+b+c=0
alors a²+b²+c²=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)

oups c (a+b+c)²-2(ab+bc+ca)

En effet.

Mais ceci est parfaitement général :

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.

Je ne vois pas pourquoi introduire la contrainte

a + b + c = 0.

moi aussi je ne vois pas pourquoi on l'a juste introduis avant

si ça peut vous aider avant on doi demontrer que a^3+b^3+c^3=3abc
et (a²+b²+c²)²=2(a^4+b^4+c^4)

voilà tout ce que j'ai

bon je relance le sujet si jamais quelqu'un à une idée!je prends!
merci

bon alors j'abandonne le fait que quelqu'un y arrive
pas rave je demanderais à quelqu'un d'autre merci a bientôt

Hello titor.
J'ai trouvé de quoi t'intéresser :

Soit E = {a , b , c} et F = {u , v , w}
pour a > b > c et u > v > w
alors au + bv + cw est la somme maximale des triplets de produits ef + e'f' + e"f", où e, e', e" app/ E et f, f', f" app/ F.
C'est parfois appelé "l'inégalité de réordonnement".
Remarque : la somme minimale est aw + bv + cu.

Fais des essais numériques pour t'en convaincre.

Avec ça tu dois arriver à prouver que
a^3 + b^3 + c^3 >= 3 abc.

merci beaucoup
je suis tout à fait d'accord avec ce théorème seulement il me reste à trouver comme l'appliquer ici et dans d'autres cas mais en tout cas merci beaucoup car je connaissais vraiment pas!

Je l'avais complétement oublié (comment peut-on oublier un truc aussi percutant ?).

Pour l'appliquer à la somme des trois cubes, tu peux supposer pour commencer que a > b > c > 0.
Ensuite, écris
a^3 + b^3 + c^3 = aa² + bb² + cc²
et ceci commence à ressembler à un problème de réordonnement, avec a² > b² > c² sous l'hypothèse faite sur les signes et l'ordre.

Il faudrait aussi donner une vraie preuve de ce théorème, ainsi que sa forme la plus générale possible.

d'accord je commence vraiment à mieux comprendre c'est vrai qu'il est vraiment interessant ce théorème, il offre de trés grandes possibilités

Est-ce que
$a^4$ + $b^4$ + $c^4$ + $d^4$ >= 4 abcd
?