Démonstrations géométriques.



  • Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre pour demain et je ne suis pas tout à fait sûre pour les réponses que j'ai données a cet exercice.
    J'espérai que vous pourriez m'aider.
    Merci d'avance.

    Enoncé:
    ABC est un triangle rectangle isocèle an A, o est le milieu du segment [BC], I un point du segment [AB].
    La perpendiculaire en O à la droite (OI) coupe le segment [AC]
    en J. On se propose de démontrer que le triangle rectangle IOJ est aussi isocèle.

    Première question:
    Justifier les égalités suivantes: OA=OB=OC
    L'angle CAO= L'angle BAO= l'angle ABO= l'angle ACO= 45°

    Ma réponse:

    • O étant le milieu du segment [BC], il est aussi le centre du cercle circonscrit du triangle rectangle isocèle en A, ABC.
      [BC] étant le diamètre de ce cercle qu'on appellera C et les points C, A, B inscrits sur ce cercle ayant comme centre O alors: OC=OB=OA

    • Comme O sépare [BC] en son milieu, il lui est aussi perpendiculaire en partant du sommet A. Le segment [BC] sert de bissectrice donc les angles CAO et BAO = 45degré vu qu'il était droit avant d'être coupé. [AO] étant aussi perpendiculaire à [BC] alors il est égal a 90 degré pour les deux triangles.
      On sait que l'addition des trois angles d'un triangle = 180°
      Donc 180-(90+45)= 45 c'est à dire que les angles ACO et ABO = aussi 45°
      Donc les 4 angles sont bien égaux à 45°.

    Deuxième question:
    Trouver deux triangles qui semblent isométriques pour lesquels OI et OJ sont des côtés.

    Ma réponse:
    Les deux triangles qui seraient isométriques seraient OJA et OIB.
    Le triangle OJA serait l'image du triangle OIB par la rotation dans le sens indirect de ? °.

    Troisième question:
    Démontrer que OI=OJ et conclure.

    Ma réponse:
    Ayant démontré ci-dessus que les triangles OJA et OIB sont isométriques alors les 3 angles et les trois côtés sont respectivement de la même mesure.
    Donc OI=OJ.
    Alors le triangle est isocèle en O Et est aussi rectangle en ce même point.

    Je vous remercie d'avance pour votre aide. Au revoir. 😄



  • Bonjour,

    Première question : il y a plus simple ...

    Dans le triangle ABC rectangle en A (AO) est la médiane issue de A et on sait que si (AO) est une telle médiane alors AO = (1/2) BC = OB = OC

    Pour la suite c'est un peu confus ....

    Citation
    Comme O sépare [BC] en son milieu, il lui est aussi perpendiculaire en partant du sommet A
    Un point ne peut pas être perpendiculaire à on ne sait pas quoi ! On ne peut parler que de 2 droites perpendiculaires pas de points!
    Je ne comprends pas très bien ce que tu veux dire !



  • Donc, Comme O sépare [BC] en son milieu, il lui est aussi perpendiculaire en partant du sommet A.
    En fait ce que j'arrive pas a faire dans cette première question c'est démontrer que l'angle A est séparé en deux parties égales et qui ferait 45° dans le triangles COA et BOA.
    Est ce que je peux dire que [OA] est aussi une bissectrice, qui démontrerai que les angles CAO et BAO seraient égaux et auraient comme mesure 45° ?



  • Et bien là, il faut se souvenir des propriétés des droites remarquables dans un triangle isocèle ! (rappel des cours du collège à ne pas oublier !)



  • Propriété réciproque : Si un point est à égale distance des côtés d’un angle, alors il est sur la bissectrice de cet angle.

    Ca serait celle-là?



  • Non, ce serait plutôt celle-là :

    Dans un triangle isocèle en A, la bissectrice de l'angle en A est confondue avec la médiane issue de A et avec la médiatrice du côté opposé à A (je vais mettre un dessin). Voilà !



  • D'accord, merci beaucoup 😃


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