Exercices sur ROC



  • Bonjour,
    Voici plusieurs exercices que je viens de recevoir ils portent tous sur des ROC et donc je vous poste ce sujet pour que vous sachiez sur quoi je vais avoir besoin de votre aide. Voilà donc le sujet. Et je vais maintenant y réfléchir et je vous retiens au courant. Merci d'avance pour l'aide que vous me porterez.

    Exercice n°1 :
    Pré requis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes:

    1. exp est une fonction dérivable sur R;
    2. sa fonction dérivée, notée exp', est telle que, pour tout nombre réel x , exp'(x) = exp(x) ;
    3. exp(0) = 1

    En n'utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, il s'agit de démontrer que:

    • Pour totu nombre réel x, exp(x) x exp (-x) =1
    • Pour tout nombre réel a et tout nombre réel b , exp (a+b) = exp(a) x exp (b).
      Pour cela, on considère la fonction g telle que tout y appartient R, tout x appartient à R, g(x) = exp (x+y) x exp (-x)
      Montrer que g est une fonction constante et en déduire les résultats demandés.

    Exercice n°2 :
    Pré requis : la fonction logarithme népérien, notée ln , a les deux propriétés suivantes:

    1. ln (xy) = ln x + ln y , tout y >0 et tout x >0 .
    2. ln 1 =0
      En n'utilisant que ces deux propriétés de la fonction ln, démontrer que:
    • ln 1/x = -ln x
    • ln y/x = lny - lnx
    • ln racine x = 1/2 lnx

    Exercice n°3 :
    Pré requis:

    1. lin (x-> +oo) f(x) = +oo signifie que, pour tout réel A, il existe un réel B, tel que si x>B, alors f(x) >A
    2. ln est strictement croissante sur ] 0; +oo[
    3. tout y appartient R, y=ln e^y
      Démontrer à l'aide de ces trois propriétés que lin (x->+oo) lnx = +oo

    Exercice n°4:
    Pré requis:

    1. ln est dérivable sur ]0;+oo[ et ln'(x) = 1/x
    2. tout y appartient R , y = ln e^y
    3. Le théorème " des gendarmes en +oo"
      On considère la fonction f définie sur ]1;+oo[ par f(x) = lnx / racine x ; montrer que o <ou égal à f(x)
      +oo) ln/x = 0


  • Bonjour,
    Voila ce que j'ai fait pour le moment mais dites moi si c'est comme ca qu'il faut que je procède car je sais jamais réellement comment m'y prendre !!! Donc si vous avez des trucs a ajouter dites n'hésitez surtout pas !!

    Exercice 1 :

    Démontrer que pour tout nombre réel x, exp(x) * exp(-x) =1
    On pose tout x appartient R , g(x) = exp(x+y) exp(-x) alors g est dérivale sur R , et g'(x) = exp '(x+y) * exp (-x) + exp (x+y) * exp'(x) or exp' = exp donc on a :
    exp (x+y) * exp (-x) - exp (x+y) * exp (-x) = 0
    g ayant safonction dérivé nulle sur R est dnc une fonction constante sur R.
    Tout x appartient R, g(x) = c avec c , constante sur R.
    Or g(0) = exp (-0) * exp (0) = 1 car exp (0)=1
    d'ou tout x appartient R , g(x)= 1 c'est a dire tout x appartient R, exp(-x) * exp ( x) = 1

    Exercice 2 :

    Démontrer que ln 1/x = -ln x

    On sait que ln x + ln y = ln( xy)
    Posons x = 1/a et y =a
    Alors ln (1/a) + ln a = ln ( 1/a * a ) = ln 1= 0
    D'ou ln (1/a) + ln a = 0 et ln (1/a) = - ln a

    Démontrer que ln y/x = ln y - ln x
    On sait que ln (y/x) = ln (y * 1/x) = ln y +ln 1/x
    car ln 1/a = - ln x donc ln y/x = ln y - ln x.

    Démontrer que ln racine x = 1/2 lnx
    On sait que ln x = ln ( racine x)² = ln ( racine x * racine x ) = ln racine x + ln racine x = 2 ln racine x .
    Donc ln x = 2 ln racine x d'ou ln racine x = 1/2 ln x .

    Exercice 3 :

    démontrer lim (x-> +oo) ln x = +oo

    ln est croissant sur ] 0;+ oo[ dnc admet limite en + oo, finie ou non .
    On sait que ln 2^n = n ln
    donc lim (n->+oo) ln (2^n) = lim (n->+oo) n ln 2

    lim n = + oo
    lim ln 2 = ln 2 par produit lim n ln 2 = + oo = lim ln (2^n)

    lim (n-> +oo)2 n = + oo
    Posons X = 2 n d'ou lim (x->+ oo) ln X = + oo

    Voila merci d'avance pour vos réponses .... bonne soirée !



  • Bonjour

    Exercice 1 oui mais je ne vois pas l'interet de ton y tu aurais pu poser :
    g(x) = exp(x)*exp(-x) sinon c'est bon.

    Exercice 2 tres bien

    Exercice 3 Tu ne te sers pas vmt des pré requis qui te sont donnés, et tu utilises le fait que ln aba^b = b × ln a
    Essais de le faire en te servant de ce qui t'es donné

    Tu n'arrives pas à l'exercice 4 ou tu n'as pas encore essayé ?



  • POur l'exercice 1 c'est parce qu'il est écrit g (x) = exp (x+y) x exp (-x) donc je ne savais pas si je pouvais démarrer avec exp (x) x exp (-x) .

    D'accord pour l'exercice 3 je vais réessayer de le refaire avec les prérequis donnés.

    Et l'exercice 4 je ne sais pas.
    Merci . Bonne soirée !


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