Loi normale

Bonjour, voilà je suis en BTS informatique de gestion, j'ai un exercice à faire sur les calculs de probabilités et je me pose quelques questions donc j'espère que quelqu'un pourra m'éclairer !
Voici le sujet :

Une station service de grande surface a relevé, pendant une semaine, la demande (en litres) de chacun de ses clients :

Demande en litres - Nombre de clients :
[5;15[ - 11
[15;20[ - 45
[20;25[ - 158
[25;30[ - 223
[30;35[ - 273
[35;40[ - 132
[40;50[ - 44
[50;60[ - 4

Calculer à $10^{-3}$ près la moyenne x (avec une barre sur le x en fait) et l'écart type σ $_x$ de cette série (les résultats intermédiaires ne sont pas demandés).

Pour répondre à cette question j'ai entré la série statistique dans ma calculatrice (en faisant la moyenne par exemple entre 5 et 15 j'ai mis 10 etc) et j'ai obtenu x(barre) = 30,937 et σ $_x$ = 13,803

Le problème c'est que dans mon cours sur cette leçon chaque fois qu'on doit chercher m et σ je retrouve des phrases du style "on peut approcher la loi B(...;...) par la loi normale N(m,σ) avec ... (des calculs du style Np = ...) mais en même temps ici on ne me demande pas m mais x(barre) mais bon je me demande de plus en plus si c'est vraiment juste ce que j'ai marqué d'autant plus que dans une question d'une autre partie de cet exercice on me dit :

Approximation de cette série par une loi normale :
Soit X le nombre de litres demandés par chaque client. Les résultats précédents conduisent à assimiler la loi de probabilité de X à une loi normale de moyenne m = 30 et d'écart type σ = 7. (Les résultats demandés seront donnés à $10^{-2}$ près)

Pour le m=30 ça colle avec ce que j'ai trouvé pour x(barre) mais pas du tout en ce qui concerne l'écart type ! Donc ça me met vraiment le doûte et j'aurais vraiment besoin d'aide...
Dernière question, quand on me demande de calculer par exemple à $10^{-3}$ près est-ce que ça veut dire que j'arrondis ou que je laisse tel quel ?

Je bloque aussi un peu plus loin dans cet exercice mais je préfère déjà écrire ça dans l'espoir qu'on me réponde.

S'il vous plaît si quelqu'un avait la gentillesse de m'aider j'en serais vraiment ravie parce que ce devoir que je dois préparer est très important.

Merci d'avance

Salut maeva,
Peux-tu détailler ton calcul de σ, celui de $x‾\overline{x}$ a l'air bon. Pour l'arrondi oui il faut le faire. Par exemple 3,4585 s'écrira 3,459 à $10^{-3}$ près.

ok hé bien en fait comme je m'étais simplement fiée à la calculatrice j'ai voulu vraiment faire moi-même les calculs et je me suis rendue compte que je m'étais trompée et qu'en fait ça donne :

$x‾\overline{x}$ = 29,896
σ $_x$ = 6,97

Maintenant j'ai une question où on me demande :
Quel est à $10^{-1}$ près le pourcentage de clients dont la demande, en litres, est située
entre $x‾\overline{x}$ - σ $_x$ et $x‾\overline{x}$ + σ $_x$ ?
entre $x‾\overline{x}$ - 2σ $_x$ et $x‾\overline{x}$ + 2σ $_x$ ?
entre $x‾\overline{x}$ - 3σ $_x$ et $x‾\overline{x}$ + 3σ $_x$ ?

J'ai trouvé quelque chose dans mon cours qui me fait penser que j'ai trouvé les réponses mais je souhaiterais quand même avoir votre avis, en fait voilà ce qu'il y a marqué dans mon cours :

Soit X une variable aléatoire de loi N(m;σ)

P (|X-m| ≤ σ) = P( |(X-m)/σ| ≤ 1) = P(|T| ≤ 1) = 2.Π(1) - 1 = 0,6826...
68,26% de la population est située sur l'intervalle [m-σ ; m+σ]

P (|X-m| ≤ 3σ) = P( |(X-m)/σ| ≤ 3) = 2.Π(3) - 1 = 0,9973...
Environ 100% d'une population distribuée suivant une loi normale est située sur [m-3σ ; m+3σ] c'est-à-dire sur un intervalle d'amplitude 6σ.

Même s'il y a écrit "la population" je n'ai rien trouvé avant qui donne des chiffres, des statistiques sur cette population donc je pense que c'est une généralité puisque de toute façon il n'y a pas de nombres correspondants à m et σ et je pensais donc prendre les mêmes expressions en remplaçant m et σ par 29,896 et 6,97 et donner le même pourcentage à l'arrivée, est-ce que je suis sur la bonne voie ?

Oui ce résultat de cours paraît être applicable ici, mais j'aurais plutôt tendance à dire que l'esprit de la question est de te faire calculer dans le cas présent ce pourcentage (compter le nombre de demandes entre $x‾\overline{x}$ -σ $_x$ et $x‾\overline{x}$ +σ $_x$ , le nombre de demandes total et en faire le rapport).

a ok alors j'ai calculé le résultat pour entre $x‾\overline{x}$ - 2σ $_x$ et $x‾\overline{x}$ + 2σ $_x$ et j'ai obtenu 0,954499... et en tout il y a eu 890 clients dans la semaine

ensuite donc est-ce qu'il faut que je fasse ça :
par exemple pour entre $x‾\overline{x}$ - σ $_x$ et $x‾\overline{x}$ + σ $_x$ comme ça donne 0,6826...
68,26*890 = 60751,4
60751,4/100 = 607,514 clients (donc j'arrondis à 608 ?) mais ça n'est pas un pourcentage, non?

non, là tu le fais à l'envers.
Pour le pourcentage entre $x‾\overline{x}$ -σ $_x$ et $x‾\overline{x}$ +σ $_x$ , tu comptes le nombre de demandes entre 29,896-6.97 et 29,896+6,97 (y en a en gros 600 mais faudrait compter ça plus précisément) et tu divises ce nombre par 890, tu auras alors le pourcentage cherché.

d'accord, alors 29,896-6,97 = 22,926 et 29,896+6,97 = 36,866 et pour avoir le nombre de demandes entre ces deux est-ce que j'additionne dans le tableau le nombre de clients à partir de [20;25[ jusqu'à [35;40[ (ce qui donnerait 786) ?

Salut,
peut être qu'il faut faire comme tu dis : 786/890≈0.88 contre 0.95.. en supposant que c'est une loi normale mais c'est un peu grossier.
Je pense que le plus précis reste les probabilités de ton cours car l'approximation par une loi normale est réalisée dans ce but selon moi.
Du genre :
0,6826 pour q=1
0.95 pour q=1.96
0,9973 pour q=3
avec [x_barre ± q*σ].
Tcho

Salut
Hum après avoir vérifié je suis OK pour la moyenne=29.896
mais j'ai un souci concernant l'écart type je trouve un chiffre ~7.5
j'aimerais avoir une confirmation ^^
salut tout le monde.

euh... bon alors pour les pourcentages je sais plus trop ce que je dois mettre là... c'est juste si je mets 786/890≈0.88 c'est bien ça qu'on me demande dans l'énoncé ?

Sinon après j'ai une question où je suis complètement bloquée parce que je n'ai aucune idée des calculs à faire, j'ai cherché partout et je n'ai trouvé aucun exemple :

(c'est toujours la suite du même exercice)
Dans une but publicitaire, la direction de la grande surface a décidé de donner un cadeau à tout client dont la demande est supérieure ou égale à 40 litres.
Sachant qu'en moyenne il y a 120 clients par jour à venir à cette station service, on désigne par Y le nombre de clients ayant droit à un cadeau.
Calculer, en fonction de l'entier k, la probabilité d'avoir Y = k.

Dans une question avant celle que je viens d'écrire on me demande de calculer justement la probabilité d'avoir X supérieur ou égal à 40 litres (loi normale) et j'ai trouvé un résultat (que je crois être juste) du type 0,.... alors est-ce qu'il faut que je le place ici ?

Merci d'avance à la personne qui pourra m'aider