Fonctions et nombres complexes

[Carine13]

Bonjour,

je dois faire la correction de mon DS et j'ai la fin d'un exercice qui me pose problème.

Partie A
Je ne recopie pas toute la partie A, seulement les données qui peuvent servir pour la partie B.
On travaille dans un repère orthonormé.
f(x) = ln [√1+x - 1 ] sur ]0 ; + l'infini[
A (3, 0), B (5/4, -ln2), P (5/4, 0) et H (0, -ln2).
C est la courbe représentative de f.

Partie B
Soit r la rotation de centre 0 et d'angle pi/2, à tout point M du plan d'affixe z la rotation r associe le point M' d'affixe z'.
1)a) Donner l'expression de z' en fonction de z.
On note z = x + iy et z' = x' + iy' (x, y, x', y' réels). Exprimer x' et y' en fonction de x et y, puis exprimer x et y en fonction de x' et y'.
b) Déterminer les coordonnées des points A', B'n P' images respectives des points A, B et P par la rotation r.
2) On appelle g la fonction définie sur R par g(x) = e^-2x + 2e^-x et C' sa courbe représentative dans le repère.
Montrer que lorsuqu'n point M appartient à C, son image M' par r appartient à C'. On admet que lorsque le point M décrit C, le point M' décrit C'.

Bon alors... Je ne donne que les résultats.

1. a) x' = -y , y' = x et donc y = -x' et x = y'
   b) A' (0, 3), B' (ln2, 5/4), P' (0, 5/4)
2. ??? Je ne vois pas trop. Je pense qu'il faut chercher à démontrer que si on a M(x, y) et M' (x' , y') on a x' = -y et y' = x...
   mais je ne sais pas si c'est ça et si c'est ça, je ne vois pas comment...
   à l'aideee, SVPPPP!
   Merci

[BUD]

Salut,
Je crois que il y a un petit probleme,
f(x)=ln[(√1)+(x-1)]=ln(x)?
ou
f(x)=ln[√(1+x) -1] =>Df=]-1, +inf[ ?

[Carine13]

c'est f(x)=ln[√(1+x) -1]
mais Df=]0, +inf[ ?

[Carine13]

bon ben...il commence à se faire tard, j'arrête d'attendre une aide inespérée et je vais me coucher.
tampis pour la correction, il ne me manque que cette question de toutes façons.
merci quand même et bonne nuit.

[BUD]

Re, oui Df=]0,+inf[ mea culpa!
Maintenant , l'exercice:

a) Formule d'une rotation de centre C et d'angle Θ

(Merci Wikipedia!)
et exp(iπ/2)=i (π=pi)
d'ou
z'=iz
donc x'+iy'=i(x+iy)
x'+iy'=-y+ix
Or deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales deux à deux.
donc, on a x'=-y et y'=x
(C'est bon!)
b)
Tes résultats sont bons A' (0, 3), B' (ln2, 5/4), P' (0, 5/4) !
par pure déduction de la question a).

2)Soit M(z) un point du plan, M∈C et soit un point M'(z') l'image de M(z) par r(0,π/2). (On admet que lorsque le point M décrit C, le point M' décrit C'.)
On sait que:
z'=iz
d'ou x'=-y et y'=x
Or M∈C donc la partie réelle de z reste x mais la partie imaginaire est f(x)
soit y=ln [√(1+x) - 1 ]
d'ou
x'=-ln[√(1+y')-1]
exp(-x')=√(1+y')-1
(exp(-x')+1)²=1+y'
y'=(exp(-x)1)(exp(-x)+1+1)
y'=exp(-x)(exp(-x)+2)
y'=exp(-2x)+2exp(-x)=g(x)
d'ou z'=x'+ig(x)
donc M'(z')∈C'

Voila, j'espere t'avoir aidé!
Reviens si quelque chose ne va pas!