Math-fiche - L'identification pour une fonction rationnelle

Cette fiche explique la méthode d'identification dans le cas d'une fonction rationnelle, grâce à un exemple.

Soit f la fonction définie par $,=,\frac{ ,x^2 ,+ ,x ,- ,2 ,}{x+3}$

Il s'agit de montrer qu'on peut trouver 3 réels a,b et c tels que :

$,\frac{c}{x+3}$

On part de $,\frac{c}{x+3}$ : on commence par mettre les fractions au même dénominateur, puis on regroupe les termes de même degré.

$,\frac{c}{x+3} ,=, \frac{, (ax, +, b)(x+3) + c, }{x, +, 3}, =, \frac{, ax^2, +, 3ax, +, bx, +, 3b, +, c, }{x, +, 3},=, \frac{, ax^2, +, (3a+b)x, + , (3b+c), }{x+3}$

Il faut donc que l'égalité $,x2,+,x,−,2,x+3,=,,ax2,+,(3a+b)x,+,(3b+c),x+3\frac{ ,x^2 ,+ ,x ,- ,2 ,}{x+3} ,=,\frac{, ax^2, +, (3a+b)x, + , (3b+c), }{x+3}$ soit vraie pour tout x du domaine de définition de f.

Or 2 fractions ayant le même dénominateur sont égales si elles ont le même numérateur.

Il faut donc que l'égalité
$ax^2, +, (3a+b)x, + , (3b+c),=,x^2,+,x,-,2$
soit vraie pour tout x du domaine de définition de f.

Il faut donc que les coefficients de même degré des 2 polynômes soient égaux deux à deux, c'est à dire :

$\left{a,=,1\ \ 3a,+,b, = ,1\ \ 3b ,+, c, =, -2 \right$

Il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver a, b et c

$\left{a,=,1 \ \ b,=,-2 \ \ c,=,4$

Donc $,\frac{4}{x+3}$

**Lien vers l'Article