Math-fiche - L'identification pour une fonction rationnelle



  • Cette fiche explique la méthode d'identification dans le cas d'une fonction rationnelle, grâce à un exemple.

    Soit f la fonction définie par f(x),=,,x2,+,x,,2,x+3f(x) ,=,\frac{ ,x^2 ,+ ,x ,- ,2 ,}{x+3}

    Il s'agit de montrer qu'on peut trouver 3 réels a,b et c tels que :

    f(x),=,ax,+,b,+,cx+3f(x) ,=,ax,+,b,+ ,\frac{c}{x+3}

    On part de ax,+,b,+,cx+3ax,+,b,+ ,\frac{c}{x+3} : on commence par mettre les fractions au même dénominateur, puis on regroupe les termes de même degré.

    ax,+,b,+,cx+3,=,,(ax,+,b)(x+3)+c,x,+,3,=,,ax2,+,3ax,+,bx,+,3b,+,c,x,+,3,=,,ax2,+,(3a+b)x,+,(3b+c),x+3ax,+,b,+ ,\frac{c}{x+3} ,=, \frac{, (ax, +, b)(x+3) + c, }{x, +, 3}, =, \frac{, ax^2, +, 3ax, +, bx, +, 3b, +, c, }{x, +, 3},=, \frac{, ax^2, +, (3a+b)x, + , (3b+c), }{x+3}

    Il faut donc que l'égalité ,x2,+,x,,2,x+3,=,,ax2,+,(3a+b)x,+,(3b+c),x+3\frac{ ,x^2 ,+ ,x ,- ,2 ,}{x+3} ,=,\frac{, ax^2, +, (3a+b)x, + , (3b+c), }{x+3} soit vraie pour tout x du domaine de définition de f.

    Or 2 fractions ayant le même dénominateur sont égales si elles ont le même numérateur.

    Il faut donc que l'égalité
    ax2,+,(3a+b)x,+,(3b+c),=,x2,+,x,,2ax^2, +, (3a+b)x, + , (3b+c),=,x^2,+,x,-,2
    soit vraie pour tout x du domaine de définition de f.

    Il faut donc que les coefficients de même degré des 2 polynômes soient égaux deux à deux, c'est à dire :

    $\left{a,=,1\ \ 3a,+,b, = ,1\ \ 3b ,+, c, =, -2 \right$

    Il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver a, b et c

    $\left{a,=,1 \ \ b,=,-2 \ \ c,=,4$

    Donc f(x),=,x,,2,+,4x+3f(x) ,=,x,-,2,+ ,\frac{4}{x+3}

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