Cette fiche explique la méthode d'identification dans le cas d'une fonction rationnelle, grâce à un exemple.
Soit f la fonction définie par f(x),=,,x2,+,x,−,2,x+3f(x) ,=,\frac{ ,x^2 ,+ ,x ,- ,2 ,}{x+3}f(x),=,x+3,x2,+,x,−,2,
Il s'agit de montrer qu'on peut trouver 3 réels a,b et c tels que :
f(x),=,ax,+,b,+,cx+3f(x) ,=,ax,+,b,+ ,\frac{c}{x+3}f(x),=,ax,+,b,+,x+3c
On part de ax,+,b,+,cx+3ax,+,b,+ ,\frac{c}{x+3}ax,+,b,+,x+3c : on commence par mettre les fractions au même dénominateur, puis on regroupe les termes de même degré.
ax,+,b,+,cx+3,=,,(ax,+,b)(x+3)+c,x,+,3,=,,ax2,+,3ax,+,bx,+,3b,+,c,x,+,3,=,,ax2,+,(3a+b)x,+,(3b+c),x+3ax,+,b,+ ,\frac{c}{x+3} ,=, \frac{, (ax, +, b)(x+3) + c, }{x, +, 3}, =, \frac{, ax^2, +, 3ax, +, bx, +, 3b, +, c, }{x, +, 3},=, \frac{, ax^2, +, (3a+b)x, + , (3b+c), }{x+3}ax,+,b,+,x+3c,=,x,+,3,(ax,+,b)(x+3)+c,,=,x,+,3,ax2,+,3ax,+,bx,+,3b,+,c,,=,x+3,ax2,+,(3a+b)x,+,(3b+c),
Il faut donc que l'égalité ,x2,+,x,−,2,x+3,=,,ax2,+,(3a+b)x,+,(3b+c),x+3\frac{ ,x^2 ,+ ,x ,- ,2 ,}{x+3} ,=,\frac{, ax^2, +, (3a+b)x, + , (3b+c), }{x+3}x+3,x2,+,x,−,2,,=,x+3,ax2,+,(3a+b)x,+,(3b+c), soit vraie pour tout x du domaine de définition de f.
Or 2 fractions ayant le même dénominateur sont égales si elles ont le même numérateur.
Il faut donc que l'égalité
ax2,+,(3a+b)x,+,(3b+c),=,x2,+,x,−,2ax^2, +, (3a+b)x, + , (3b+c),=,x^2,+,x,-,2ax2,+,(3a+b)x,+,(3b+c),=,x2,+,x,−,2
soit vraie pour tout x du domaine de définition de f.
Il faut donc que les coefficients de même degré des 2 polynômes soient égaux deux à deux, c'est à dire :
$\left{a,=,1\ \ 3a,+,b, = ,1\ \ 3b ,+, c, =, -2 \right$
Il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver a, b et c
$\left{a,=,1 \ \ b,=,-2 \ \ c,=,4$
Donc f(x),=,x,−,2,+,4x+3f(x) ,=,x,-,2,+ ,\frac{4}{x+3}f(x),=,x,−,2,+,x+34
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