nombres complexes (transformations dans le plan)

bonsoir,

voila un exercie trés long, où il me manque des réponses, ci dessous mes réponses qui ont besoin de votre avis

Le plan complexe est rapporté à un repere orthonormale direct (O;u;v) (unité graphique 1cm)

On note J le nombre complexe e^(i*((2pi)/3)
On considere les point A,B, et C d'affixe respectives:
a=8, b=6j, et c=8j²
Soit A' l'image de B par la rotation de centre C et d'angle pi/3.

Soit B' l'image de C par la rotation de centre A et d'angle pi/3.

Soit C' l'image de A par la rotation de centre B et d'angle pi/3.

1°)- placer les point A, B, C, A', B' et C' dans le repère donné.

2°)- on appel a', b' et c' les affixes respectives des points A',B' et C'.

a)- calculer a'. on verifiera que a' est un nombre réel.

Formule pour une rotation de centre I et d'angle theta transformant M(z) en M'(z'):
(z'-zI)=(z-zI)e^(itheta), soit z' = zI + (z-zI)e^(itheta)

b)- montrer que b'= 16 e^(-i*(pi/3)
en déduire que O est un point de la droite (BB').

On peut montrer que angle (OB,OB')=pi
angle(OB,OB')=arg(b)-arg(b')=arg[ b/b'] = arg[ 6e^(i2pi/3)/16e^(i-pi/3) ] = arg [ 3/8e^(i*pi] = pi

je ne sais pas en deduire que o est un point de BB'

c)- on admet que c'= 7+7i*racine(3). Montrer que les droitets (AA'), (BB') et (CC') sont concourrente en O.

je suppose qu'il faut montrer que O appartient à (CC') et à (AA')

3°)- on se propose désormais de montrer que la distance MA+MB+MC est minimale lorsque M=0

a)- calculer la distance OA+OB+OC

OA+OB+Oc=|a|+|b|+|c|

b)- montrer que j^3=1 et que 1+j+j²=0

j^3=[e^(i2pi/3)]^3=[e^(i2pi]=1
mais comment montrer que 1+j+j²=0

c)- on considère un point M quelconque d'affixe z du plan complexe.
on rappel que a =8, b=6j et c=8j²

deduire des questions précédentes les égalité suivantes:
|(a-z)+(b-z)j²+(c-z)j|=|a+bj²+cj|=22

on a 1+j+j²=0 et |a+bj²+cj| ??????????????????????

d)- on admet que, quels que soit les nombres complexes z, z' et z":
|z+z'+z"|<ou=|z|+|z'|+|z"|.
montrer que MA+MB+MC est minimale lorsque M=0.

ça se complique beaucoup sur la fin!!!!!!!!!!!!!!

Voilà c'est enfin fini merci pour votre aide et bonnes fetes ...a+.

J'ai modifié le tritre parce 3 sujets avec le même titre il y de quoi se mélanger les pinceaux : signé Zorro

re
b) si (OB,OB')=π les points sont alignés ...pas de pb
3°)c)
1+j+j²=0 se démontre en calculant la somme des arguments.
allons un petit effort..
@+

3)c)
la je ne comprends pas moi j'aurai transformre les exponentielles en cos et sin .........mais je n'y arrive pas non plus!!!!!!