Justifier q'une fonction avec exponentiel est dérivable sur R et déterminer sa dérivée

Bonjour tout le monde;
J'ai un problème avec un exercice sur les dérivées, je bloque donc j'espère que quelqu'un pourra m'aider !
Voilà le sujet :
f(x) = x. $e^{-x}$
Justifier que f est dérivable sur R et déterminer sa fonction dérivée f'.

Dans mon cours, pour justifier qu'une fonction est dérivable j'ai trouvé ça :
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = -x² + 4x. En a = 1, par exemple, on a f(1) = 3.
f(1+h)= -(1+h)²+4(1+h) = -1-2h-h²+4+4h
= 3 + 2h+h²
On a donc
f(1+h) = f(1) + 2.h+ h.φ(h) en posant φ(h) = -h (qui vérifie bien lim(0)φ=0)

J'ai voulu faire pareil pour avoir un résultat de la forme f(a+h)=f(a)+A.h+h.φ(h)
voilà ce que j'ai fait :
f(x) = x. $e^{-x}$ . En a = 1 on a f(1) = $1*e^{-1}$ = $e^{-1}$
f(1+h) = (1+h). $e^{-(1+h)}$ = $e^{-(1+h)}$ + h. $e^{-(1+h)}$
Mais ce résultat n'est pas de la forme f(a+h)=f(a)+A.h+h.φ(h) !! Donc je me demandais si quelqu'un pouvait me dire ce qui cloche...
Merci d'avance !!

Bonjour,

Soit f(x) = x. $e^{-x}$ = u(x) v(x)

avec u(x) = x et v(x) = $e^{-x}$

u est une fonction dérivable sur $mathbb{R}$
v est une fonction dérivable sur $mathbb{R}$

donc uv est une fonction dérivable sur $mathbb{R}$ ; or f = uv donc f est une fonction dérivable sur $mathbb{R}$

et pour calculer f'(x) , il faut utiliser la formule qui donne la ddérivée d'un produit.

D'accord, merci beaucoup, à propos de la dérivée je me demandais si la dérivée de $e^{-x}$ est égale à $e^{-x}$ ? C'est le signe moins qui me gêne, je sais pas si ça change quelque chose ou si on fait comme avec $e^x$ dont la dérivée reste $e^x$ .

En supposant que ça ne change pas, j'ai trouvé ceci :
$1 * e$ ^{-x} $e^{-x}$ *x
= $e^{-x}$ + x. $e^{-x}$

Vous pensez que c'est ça ?
À partir de ça je dois étudier le sens de variation de f alors autant que le résultat que j'utilise soit juste...

Merci d'avance !

Salut.

Je ne sais pas si tu as vu la dérivée d'une composée de fonction.

Si oui, tu as du voir que la dérivée de fog est [fog]'(x) = g'(x)* f'(g(x)).

Ici on a $f(x)=e^x$ et g(x)=-x.

Donc $fog(x)=e^{-x}$ . On cherche sa dérivée :

[fog]'(x) = g'(x)* f'(g(x))

Or g'(x)=-1
De plus f' $x)=e^x$ , donc f'(g(x))= f' $x)=e^{-x}$ .

Conclusion, [fog]'(x) = $e^{-x}$ .

Donc tu as eu raison d'être gêné, le signe moins était important.

@+

Ah ok, merci bien parce que je ne me souviens pas avoir étudié ça, donc en fait la fonction dérivée f' est égale à $e^{-x}$ ?

Au fait est-ce que vous pourriez me dire la différence entre le sens de variation et le tableau de variation ? Parce que maintenant on me demande d'étudier le sens de variation de f, ensuite les limites en - et + ∞ et après on me demande de donner le tableau de variation... j'ai fait ce qui suit mais je me demande à quelle question je dois le mettre ?

$e^{-x}$ > 0
$e^{-x}$ < 0
ln $e^{-x}$ < 0
-x < 0
x > 0

la dérivée f'(x) est négative de ]-∞;0] et positive de ]0;+∞[

Une dernière chose...
Pour les limites, quand x tend vers + l'infini je me retrouve avec une forme indéterminée (d'après ce que j'ai lu dans mon cours) :
lim x = +∞
lim - x = -∞
X = -x
lim $e^X$ = 0
+∞*0 = forme indéterminée non ? Alors comment je peux faire ?

Merci de tout coeur pour l'aide que vous m'apportez !

Salut antoine,
Non la dérivée de f n'est pas x-> $e^{-x}$ , Jeet-chris t'a juse montré plus haut comment calculer la dérivée de x-> $e^{-x}$ , il te reste donc à calculer la dérivée de f.
Il n'y a pas quelquechose qui te choque lorsque tu écris :
$e^{-x}$ < 0
ln $e^{-x}$ < 0 ??
Quant à la limite effectivement c'est une forme indéterminée mais elle doit être très proche d'une forme indéterminée vue en cours...

Quant au sens de variation c'est ce que tu écris dans ton tableau de variation, c'est-à-dire la croissance ou la décroissance de la fonction sur tel ou tel intervalle.

Ok oui c'est vrai que maintenant ça me parait bizarre
ln $e^{-x}$ < 0

je suppose que c'est ça qu'il faut que j'écrive ?
ln $e^{-x}$ < ln 0
mais je ne sais pas à quoi c'est égal ln 0 ?

Sinon pour calculer la dérivée je viens d'écrire ça :
$1*e^{-x}$ + $e^{-x}$ )*x
= $e^{-x}$ - $e^{-x}$ *x
et là je bloque, j'ai tenté de mettre $e^{-x}$ en facteur mais je n'y arrive pas :frowning2:

Est-ce que quelqu'un peut m'aider svp ?

salut

Je n'ai pas envie de tout lire mais je vois ln 0 EEEeerrrrkkk !!!
quel est le signe de $e^x$ ∀ x ∈ $mathbb{R}$ ?

alors c'est pas ln 0 qu'il faut que je mette ?

$e^{-x }$ - $e^{-x}$ *x effectivement ceci est l'expression de la dérivée, tu n'arrives pas à factoriser $e^{-x}$ ? Qu'est-ce qui te gène exactement ?
Quelques rappels de base pour éviter d'écrire des horreurs :

ln n'est définie que sur ]0;+∞[, donc ln(x) n'existe pas si x est négatif sur $mathbb{R}$ , ln(0) n'existe donc pas non plus.
*la fonction exponentielle est, elle, définie sur $mathbb{R}$ entier mais est toujours positive, c'est-à-dire que $e^x$ >0 pur tout x appartenant à $mathbb{R}$ .

$e^{-x}$ - $e^{-x}$ *x est-ce que ça serait égal à $e^{-x}$ (1-x) ?
Et oui effectivement maintenant ça me revient que ln(x) n'est définie que sur ]0;+∞[ alors est-ce que ça voudrait dire qu'il faut que je passe de $e^{-x}$ < 0 à $e^x$ >0 ? Si j'enlève le - dans l'exposant est-ce que je peux changer le signe de l'inéquation ?

pour la factorisation c'est bon, mais pour la suite relis ce que j'ai écris !
$e^x$ >0 pur tout x appartenant à $mathbb{R}$ , donc a fortiori $e^{-x}$ ne peut pas être négatif... Et puis de toute façon quel est le but de ces inégalités ?

ok et bien je crois que si la factorisation est bonne maintenant, pour calculer le sens de variation il faut que j'utilise $e^{-x}$ (1-x) non?

oui exactement, le signe de $e^{-x}$ je t'en ai déjà un peu arler, il te reste à trouver le signe de 1-x et d'en déduire le signe du produit des deux.

ça y est je crois que j'ai trouvé ! est-ce que ça vous paraît bon ?

1-x > 0
1 > x
donc dans un tableau à la ligne de 1-x je mets + entre -∞ et 1 et - entre 1 et +∞, toujours + sur la ligne de $e^{-x}$ et donc sur la ligne finale ça donne + jusqu'à 1 et - ensuite ?

Ensuite pour les limites :
quand x tend vers -∞

lim x = -∞
lim - x = +∞
X = -x
lim (X tend vers +∞) = $e^X$ = +∞

DONC lim (x tend vers -∞) f(x) = -∞

quand x tend vers +∞

lim x = +∞
lim - x = -∞
X = -x
lim (X tend vers -∞) = $e^X$ = 0

Et est-ce que pour éviter la forme indéterminée c'est $0^-$ qu'il faut que j'écrive au résultat ci-dessus (et même peut-être au résultat final aussi) ?

DONC lim (x tend vers +∞) f(x) = 0

Pour le tableau de variation, de -∞ à 1 la fonction est croissante puis ensuite décroissante

Est-ce que vous pouvez me confirmer que je n'ai pas fait d'oubli ? Et aussi pour l'histoire des limites si c'est bon ce que j'ai mis ? Et si après pour la suite je suis bloqué à une question je peux revenir poster ici ?

Merci d'avance

Oui ce que tu as fait a l'air bon, pour la deuxième limite, quoiqu'il arrive tu as une forme indéterminée, mais tu as dû voir dans ton cours quelle était $lim⁡x→−∞xex\lim _{x \rightarrow {-} \infty}xe^x$ , tu dois pouvoir te ramener à cette limite ici...
Pour la suite, si il s'agit du même exercice tu peux continuer à poster sur ce topic.

euh... je viens de chercher mais je n'ai pas trouvé pour $lim⁡x→−∞xex\lim _{x \rightarrow {-} \infty}xe^x$ ... je sais que lim $e^x$ = 0 et lim x = -∞ , ça ressemble à la deuxième limite que je dois calculer... alors est-ce que je ne me serais pas trompé et ça serait $0^+$ comme c'est +∞ (alors que là c'est moins)... enfin peut-être que je suis sur une fausse piste avec mes histoires de $0^+$ ?

Hello,

J'ai une petite question à poser...
Dans la suite de l'exercice on me demande ceci :
Montrer que l'équation f(x) = -0,5 n'admet aucune solution dans l'intervalle [0;+∞[ et qu'elle admet une unique solution dans l'intervalle ]-∞;0[.

Je voudrais répondre avec le théorême des valeurs intermédiaires, j'ai déjà écrit ça :
Pour x appartient à ]-∞;0[, f(x) est continue et strictement croissante, or -0,5 appartient à ]f(-∞);f(0)[ donc l'équation f(x) = - 0,5 admet une solution unique $x_{-0,5}$ appartient à ]-∞;0[
Déjà est-ce qu'il n'y a pas d'erreur là-dedans ?

Et pour x appartient à [0;+∞[ je ne suis pas sûr de la bonne réponse... est-ce qu'il faut que j'écrive f(x) est continue et croissante pour x appartient à [0;1[ puis décroissante pour x appartient à [1;+∞[ or -0,5 n'appartient pas à [f(0);f(+∞)[ donc l'équation f(x) = -0,5 n'admet aucune solution dans l'intervalle [0;+∞[

Est-ce que c'est juste si j'écris ça ?

Et ensuite on me dit "On désigne par α cette solution. Montrer que -0,36 < α < -0,35.
Seulement d'habitude à ce genre de question je mets "grâce à la calculatrice..." mais ça ne constitue pas une réponse ici vu qu'on me donne déjà le résultat donc comment le "montrer" ?

Svp ce devoir est vraiment très important pour moi, si quelqu'un pouvait m'aider ça serait super gentil

Salut antoine,
pour ta première utilisation du théorème des valeurs intermédiaires c'est bon, par contre pour le deuxième cela ne va pas : il faut que tu dises que -0.5 ∉ [f(0);f(1)] et -0.5 ∉ [f(1);f(+∞)[ au lieu de dire que -0.5 ∉ [f(0);f(+∞)[.
Pour la dernière question je pense qu'il faut le faire à la calculatrice (tu n'as pas beaucoup d''autres méthodes), tu n'as donc qu'à calculer f(-0.35) et f(-0.36) et à conclure par monotonie.
Pour la limite précédente, si tu n'as pas celle de $xe^x$ en -∞ peut-être as-tu celle de $xe^{-x}$ en +∞ dans ton cours ?

D'accord merci beaucoup

Non j'ai cherché en long en large et en travers, je n'ai rien trouvé qui ressemble à $xe^x$ ou $xe^{-x}$ :frowning2:

Alors peut-être as-tu la limite de $e^x$ /x en +∞ ?

Oui je l'ai trouvé !! $e^x$ /x en +∞ c'est égal à +∞

Ah ! Alors par un changement de variable en X=-x tu devrais pouvoir te ramener à la limite qui t'intéresse.

ah oui je vois ce que vous voulez dire, si je fais :
$xe^X$ ça me ramène un peu à $e^x$ /x mais comment je fais pour arriver à une fraction ? je rajoute un x au dénominateur ?